Раздел 4.1. n – мерный вектор и векторное пространство

Определение. Упорядоченная совокупность n чисел ( ) называется n-мерным вектором. Числа  называются компонентами (координатами) вектора.

Векторы  равны, если они совпадают покоординатно:

Операция сложения и умножения n-мерных векторов вводятся по аналогии с обычными векторами, т.е. покоординатно. Свойства обычных векторов, которые мы доказывали, становятся, таким образом, определениями для n-мерных векторов. Итак, пусть ∈ ,

l - число. Тогда по определению

Операции над n-мерными векторами обладают теми же алгебраическими свойствами, что и операции над векторами на плоскости и в пространстве:

1. Сложение векторов коммутативно: .

2. Сложение векторов ассоциативно: .

3. Существует нулевой вектор  = (0, 0, …, 0) такой, что .

4. Для любого вектора  существует противоположный вектор (- ) такой, что .

5. Умножение на число ассоциативно: l( .

6. Умножение на число дистрибутивно относительно сложения чисел: (l .

7. Умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов: l( .

8. 1  для любого вектора .

Все эти свойства следуют непосредственно из определений операций. Существование противоположного вектора -  позволяет внести вычитание векторов:  =  = (

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведённым выше свойствам, называется линейным (или векторным) пространством.

Примеры линейных пространств.

1. Пространство  – геометрических векторов на плоскости.

2. Пространство  – геометрических векторов в трёхмерном пространстве.

3. Множество матриц (R) относительно операций сложения матриц и умножения матрицы на число образует линейное пространство.

4. (R) – множество многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше 5-й образует линейное пространство относительно операций сложения многочленов и умножения многочлена на вещественное число.

Из приведённых примеров видно, что элементы линейных пространств могут быть совершенно различной природы (векторы, матрицы, многочлены).

Отметим простейшие свойства линейных пространств, следующие из определения.

, 0 ;

;

определен однозначно.

Доказательство

, т.е.

Прибавим к обеим частям - :

, тогда

, т.е. 0

Доказательство :

.

Тогда мы имеем

=> .

Прибавим к обеим частям - :

=> - .

Доказательство : Допустим противное, т.е. что существует такой элемент , у которого два противоположных элемента - и - , т.е.

-  и , ,

тогда

- .

Получили, что - , что противоречит нашему допущению.

Замечание. В определении линейного пространства поле вещественных чисел можно заменить на произвольное числовое поле Р (например С-поле комплексных чисел или Z-поле целых чисел). В этом случае говорят о линейном пространстве над полем Р. Если поле Р =R, линейное пространство называют вещественным.

Определение. Линейным подпространством векторного пространства  называется непустое множество L , обладающее следующими свойствами:

1) ;

2) .

Примеры:

-  (R) является подпространством пространства  (R).

- Множество матриц вида

, R

является линейным подпространством пространства  (R).

Очевидно, ноль–пространство -  и  всегда являются подпространствами , они называются его несобственными подпространствами. Если у пространства есть и другие подпространства, то они называются собственными.

Определение. Суммой двух линейных подпространств векторного пространства  называется совокупность S= всех векторов из , каждый из которых представляется в виде , где и .

Определение. Пересечением двух линейных подпространств и  векторного пространства  называется совокупность D=  всех векторов из , каждый из которых принадлежит как  так и .

Определение. Прямой суммой двух линейных подпространств и  векторного пространства  называется сумма этих подпространств при условии, что их пересечение состоит лишь из нулевого вектора, т.е.  = .

В случае прямой суммы будем писать

S =  или S= .