Раздел 3.1. Векторы. Основные понятия

Вектор – это направленный отрезок. Если А – начало вектора, а В – его конец, то вектор обозначается  или . Вектор  называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается - .

Длиной или модулем вектора  называется длина отрезка и обозначается | . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора  и обозначается .

Векторы  и  называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записываются  || .

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора  и  называются равными (  = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трёх векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Для суммы двух векторов есть правило треугольника, а также правило параллелограмма.

Произведением вектора  на число  называется вектор  или ( ),который имеет длину |  |  |  |, коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если  0 и противоположное направление, если  0.

Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если  = , то  || . Наоборот, если  || , (  ≠  ,то при некотором  верно равенство  = ;

2)  = |  | , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.  +  =  + ,

2. (  + ) +  =  +(  + ),

3.  ( ) =

4.  +  =  + ,

5.  (  + ) =  + .

Пусть в пространстве задана ось . Проекцией точки М на ось  называется основание  перпендикуляра , опушенного из точки на ось (см. рис. 1)

Проекцией вектора  на ось  называется положительное число , если вектор  и ось одинаково направлены и отрицательное число  если вектор и ось  противоположно направлены (см. рис. 2).

Если точки  и  совпадают ( = ), то проекция вектора  равна 0.

Проекция вектора  на ось  обозначается так: . Если  =  или , то  = 0.

Рассмотрим основные свойства проекции:

Свойство 1. Проекция вектора  на ось  равна произведению модуля вектора  на косинус угла  между вектором и осью, т.е.

 = | | cos .

Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если угол – прямой.

Следствие 2. Проекция равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.  (  +  + ) =  + .

Свойство 3. При умножении вектора  на число  его проекция на ось также умножается на это число, т.е.  ( ) = .

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.