Раздел 2.5.Системылинейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Система m линейных уравнений с n неизвестными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю.

Такая система имеет вид:

или в матричной форме А Х = 0.

Однородная система всегда совместна (r(A) = r(Ã)), она имеет нулевое (тривиальное) решение х₁ = х₂ = … = х _n = 0.

Если в системе m = n, а её определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы Крамера. Ненулевые решение возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

Следовательно, справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r её основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т.е. r<n.

Теорема 2. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы её определитель D был равен нулю, т.е. D = 0.

Положим,r = r(A). Пусть общее решение однородной системы записано в виде

Х =

где х₁, …, x_r – главные переменные; t₁, …, t_n_-_r – значения свободных переменных x_r₊₁, …, x_n. Выберем n – r решений системы, полученных из общего решения следующим образом: одно из значений свободных переменных полагается равным 1, а остальные – равными 0:

Х₁ = ,

Х₂ =, … ,

Эти решения образуют нормальную фундаментальную систему решений однородной системы, которые обладают следующим свойством:

Любое решение Х однородной системы может быть единственным образом представлено в виде:

X = α₁ X₁ + α₂ X₂ + … + α_n_-_r X_n_-_r,

где α₁, α₂, …, α_n_-_r– некоторые числа.

Любой набор из n-rрешений системы, обладающих указанным свойством, называется фундаментальной системой решений однородной системы.

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений А X = B, может быть представлено в виде суммы общего решения однородной системы АХ = 0 и какого-то одного (частного) решения неоднородной системы.

Пример 6. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для однородной системы линейных уравнений:

Решение. Приведём матрицу системы к ступенчатому виду:

Так как r(A) = r(Ã) = 3 = n, то система определенна и имеет единственное тривиальное нулевое решение х₁ = х₂ = х₃ = 0.

Ответ. Общее решение: (0; 0; 0); фундаментальной системы решений нет.

Пример 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для однородной системы линейных уравнений:

Решение. Приведём матрицу системы к ступенчатому виду:

Так как r(A) = r(Ã) = 1 < 3 =n, то система неопределенна. В качестве главного переменного можно выбрать одну из переменных.

2х₁ – х₂ + х₃ = 0 =>х₃ = х₂ – 2х₁

Пусть х₁ = t₁, x₂ = t₂. Тогда, общее решение системы:

(t₁; t₂; t₂ – 2t₁) = t₁ (1; 0; -2) +t₂ (0; 1; 1).

Фундаментальная система решений: {(1; 0; -2), (0; 1; 1)}.

Контрольные вопросы к главе 2

1. Привести общий вид системы линейных алгебраических уравнений.

2. В чем особенность однородных систем?

3. Что такое решение системы?

4. Из чего состоят основная и расширенная матрицы системы?

5. Что такое ранг матрицы?

6. В чем состоит суть теоремы Кронекера - Капелли?

7. Каково соотношение между числом неизвестных, числом решений и рангом системы?

8. Что такое свободные неизвестные и когда их вводят?

9. Сформулировать теорему Крамера.

10. Как вычисляются неизвестные матричным методом?

11. В чем заключается идея метода Гаусса?

12. Какие преобразования матриц называются элементарными?

13. Какие системы являются эквивалентными?

14. Как контролируются полученные результаты решения системы?

Тесты к главе 2

При решении системы по правилу Крамера используют формулы

3. Если , то

Система линейных алгебраических уравнений несовместна совместна определена неопределена однородна тогда и только тогда, когда определитель решение ранг коэффициент основной матрицы равен рангу ее расширенной основной ступенчатой квадратной матрицы.