Давид Гильберт в противовес интуиционизму утверждал, что интуиция не может быть основанием, ибо она слишком расплывчата. Его концепция доказательства непротиворечивости математики заключалась в первоначальном разделении всех объектов в математике на реальные (действительные) и идеальные. Не выбрасывая последних, Д.Гильберт предложил, во-первых, полностью формализовать математику (фактически арифметику или теорию натуральных чисел, т.к. к тому времени стало ясно, что все остальные разделы математической науки можно (в смысле построения моделей и доказательства непротиворечивости) свести к арифметике (арифметизация всей математики)). Имея теперь дело с полностью формализованной арифметикой и, тем самым, с синтаксическими объектами, можно попытаться доказать непротиворечивость полученного исчисления арифметики, т.е. невыводимость некоторого синтаксического объекта (предложения), семантически выражающего в построенном формализме непротиворечивость арифметики. При этом, как и полагается, все выводимые в предложенном формализме предложения (теоремы формализма) должны быть истинны в некоторой естественной семантике, например, на понимаемой привычным образом структуре натурального ряда. Используемые при этом внешним образом математические средства (Д.Гильберт не дал их точного описания!) признавались всеми математиками (так называемый финитизм или финитная точка зрения). Однако оказалось, что существуют истинные и невыводимые предложения формализма (при условии непротиворечивости последнего) и, как следствие этого факта, была установлена принципиальная невозможность доказать непротиворечивость арифметического формализма средствами данного формализма (вторая теорема К.Гёделя). Анализ доказательства второй теоремы показал, что результат остаётся верным и для несколько более слабых систем, не говоря уже о сильных аксиоматических системах, формализующих математический анализ или теорию множеств. Таким образом, хотя программа выхода из создавшегося третьего кризиса, предложенная Д.Гильбертом, и сыграла значительную роль в истории математики (главным образом, в математической логике), основная цель её создания достигнута не была.

Абсолютной наглядностью обладают только знаки. Знаки даны в созерцании (они легко обозримы и отличимы друг от друга), но вместе с тем знаки не сводимы к чему-то другому, знаки — единицы математического мышления. Гильберт полемизирует с логицистами, считая, что логика не есть нечто, к чему сводится математика, ибо логика невозможна без знаков. Т.о. ни логика, ни интуиция не могут стать базисом математики. Сама математика является своим обоснованием. Математика = набор знаков + набор правил операций с ними.

Основная мысль: все высказывания математики превращаются в формулы.

Правила:

1. Задается полный перечень символов, которые используются в системе (алфавит).

2. Вводится правило образования из «букв» алфавита его формул, и эти формулы называются предметами системы. Совокупность правил — формальная грамматика исчисления, которая представляет собой совокупность допустимых в данной системе знаковых сочетаний.

3. Выбор из всех возможных формул данной системы исходных формул (базис системы).

4. Устанавливаются правила преобразования формул (правила вывода), по которым из исходных формул получаются все остальные.

Исходные формулы называются аксиомами, а формулы, получающиеся через преобразования по правилам вывода называются теоремами.

Кризис этой программы связан с теоремами Геделя о неполноте.

Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.

Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой теории.

2.14) Психологизм в философии математики и его критика.

Психологизм – направление в философии - объяснение духовных явлений и идеальных сущностей (математических и логических отношений и др.) работой индивидуального или коллективного сознания. Наиболее известны психологистические системы в логике и математике.

Психофизиологические трактовки: идеальные объекты — результат действия физиологических законов.

Психология рассматривает сознание как самостоятельную реальность. Из сознания объясняется математическое, логическое и пр. В логике и математике психологизм распространен наиболее всего. Психологизм рассматривает сознание как самодостаточную реальность; из самодостаточного сознания определяется математика, логика и др.

Логический психологизм представляет собой точку зрения в логике (или философии логики), согласно которой логические и математические законы укоренены в психологических фактах или законах, происходят из них или объясняются ими.

Психологизм в ФМ — это точка зрения, согласно которой понятия и/или истины укоренены в психологических фактах или законах, происходят из них или объясняются ими.

Род логического психологизма поддерживался Дж. С. Миллем (также как и рядом немецких логиков XIX века, включая Христофа Зигварта и К. О. Эрдмана).

Психологизм (в логике и математике) критиковался Г. Фреге и Э. Гуссерлем, в эпистемологии — К. Поппером. В отечественной традиции радикальных антипсихологических взглядов придерживались Г. П. Щедровицкий и другие участники Московских логического и методологического кружков, а также Э. В. Ильенков и его ученики.

Второй позитивизм (эмпириокритицизм):

Мах: существование и возможность познания зависит от нашего сознания. Мир состоит из нерасчленимых нейтральных психических и физических объектов. Это элементарные человеческие ощущения, которые находятся в нашем сознании мира. Психические элементы находятся внутри чел тела. Физические элементы вторичны.

Авенариус рассуждает также как Мах, но не вводит понятие элемента.

Критика психологизма:

Гуссерль: фундаментальная ошибка психологизма заключается в том, что он истолковывает закон противоречия как высказывание о реальных психических событиях, и лишь противопоставляет собственному смыслу этого тезиса то, что он высказывает нечто об идеальном бытии, возможности и невозможности одновременной истинности обоих предложений. Так как закон подразумевает идеальную соотнесенность истин, а не реальное соотношение фактов и явлений природы: ни психической, ни физической, – поэтому он никогда не сможет быть естественным законом, законом реального бытия.

Психическое есть акт осуществления суждения, высказывания. Высказанный смысл суждения, проговоренная (поименованная) реальность не является реальным событием, но не-реальным, как говорят: идеальное бытие, значение.

Всякий акт человеческого сознания направлен на что-нибудь. Изначально он освободил логику из-под власти эмпирической психологии, а затем и математику.