Кризис – это состояние, при котором существующие средства достижения целей становятся неадекватными, в результате чего возникают непредсказуемые ситуации и проблемы» Разрешение кризисов оснований математики можно понимать двояко: во-первых, как философское объяснение создавшейся ситуации и на его основе указание методологических путей выхода из кризиса и, во-вторых, как указание чисто математического, конструктивного пути к устранению возникших трудностей в построении теории. Если во втором смысле из кризисов в математике всегда бывали найдены выходы, то в первом смысле ни один из кризисов не был разрешѐн математиками.

Кризис оснований математической рациональности как одного из смыслообразующих принципов существования человека в мире затрагивает не только саму математику, но и различные области естественно-научного знания, «разговаривающие» на еѐ языке. Нельзя отрицать, что математика, изначально заявившая о своей исключительности и даже божественности (пифагорейцы), к настоящему времени обладает не только собственным языком, методологией и логикой развития, но и, в отличие от многих других наук, многовековой историей.

Существует методологическая концепция, разрабатываемой А.Г. Барабашевым  В еѐ рамках формулируются два подхода к исследованию процесса развития математики: внутринаучный, выражающий позицию работающего математика или математических коллективов, высказывающих предположения (создающих прогнозы) о будущем своих разделов или же математики в целом», и внешний, основной разновидностью которого следует считать «предвидение тенденций на основании выявления исторических закономерностей развития математики».

Фиксация кризисной ситуации в математике, особенно в рамках первого подхода, – не столь простая задача, как это может показаться на первый взгляд. Известно, что безотносительно к трѐм традиционно выделяемым кризисам – античности, Нового времени и XIX века – математика на всѐм продолжительном пути своего развития находится в состоянии перманентного поиска решения частных задач, далеко не всегда сформулированных в рамках «кризисной» математики (например, непозиционность римской системы счисления, недоказанность до определѐнного времени теоремы Ферма и гипотезы Пуанкаре и т.д.).

1. Кризис античной математики (V в. до н.э.) – несоизмеримость отрезков -> иррациональные числа.

 Первый в истории математики кризис связан с открытием пифагорейским союзом неких «мистических» иррациональностей, которые невозможно было соотнести ни друг с другом, ни с привычными натуральными числами, более не исчерпывающими весь ряд чисел. Это был серьѐзный удар по метафизической теории античного финитизма, спровоцировавший появление внутри математики как ряда конфликтов (так, например, геометрия оказалась несводимой к алгебре), так и способов их разрешения: Естественно, что после этого в науке всѐ большее и большее распространение стала получать концепция инфинитизма. После открытия иррациональности математики стали искать такую теорию, которая давала бы обоснование этой иррациональности в «конструктивном» плане». Примечательно, что если математики Евдокс, Евклид, Архимед занялись разработкой конкретных научных методов (в частности, так называемого «метода исчерпания»), то философы Анаксагор, Зенон, Платон и Аристотель сосредоточили своѐ внимание на категориальной проработке проблемы внезапно образовавшегося «онтологического вакуума», препятствующего дальнейшему построению системы математического знания. Платон, например, проводит важное разделение понятий и логических категорий как универсальных смысловых «матриц», что значительно расширяет методологию рационального, в том числе и математического познания. Однако особо здесь стоит отметить заслуги Аристотеля, не просто осуществившего логико-грамматическую концептуализацию философских категорий, но и впервые в истории науки построившего их целостную систему, в рамках которой стало возможным исследование противоречий в теории и объективной реальности, соотношении умозрительных доводов и частнонаучных положений и т.д. И, несмотря на то что дальнейший анализ категорий не прекратился и после Стагирита (Плотин, Боэций, средневековые схоласты, Николай Кузанский и т.д.), следующую революционную веху в истории их систематизации откроют только представители немецкой классической философии – Кант и Гегель, именно гений Аристотеля существенно отдалил следующее потрясение основ математической науки, постигшее еѐ по прошествии более чем двадцати столетий

2. Кризис рубежа XVII-XVIII вв. Открытие пределов Огюстом Контом как ответ на проблему бесконечно малых.

 Второй кризис, связанный с разработкой дифференциального и интегрального исчисления, в котором используются бесконечно малые величины. Введѐнные в математику для обоснования методов интегрирования и дифференцирования, такие величины не получили сами по себе никакого обоснования. По этой причине они долгое время оставались без чѐткого определения, что никак не устраивало математиков, считавших свою науку точной и не допускающей каких бы то ни было неопределѐнностей. Так, Дж. Джиорелло, отстаивая решающий вклад Ньютона и Лейбница в теоретизацию дифференциального исчисления, всѐ же признаѐт, что язык, на котором они сформулировали его основы, ещѐ далѐк от языка «эпсилон-дельта» Вейерштрасса, а сами эти основы потребуют позже значительного переосмысления (что и будет проделано Коши). Но даже появление на математической сцене таких мощных фигур, как Коши, сыгравших, по выражению Дж. Джиорелло, роль «охотников за приведениями» и совершивших, по мнению Д. Даубена, настоящую революцию в математике, не решило сугубо философской проблемы определения статуса новых математических объектов в общей иерархии мирового бытия. Это, в свою очередь, означает, что и сам кризис оснований математики остался далѐк от преодоления, несмотря на то, что темпы развития еѐ аппарата значительно возросли (в отличие от первого кризиса, сроки решения ключевых «внутриматематических» проблем измеряются уже не столетиями, а десятилетиями). Таким образом, «онтологический лимит» античной и ренессансной мудрости исчерпал себя, и математики (быть может, сами не отдавая себе в этом отчѐта) оказались перед серьѐзным выбором той философии, без которой можно смотреть на мир, но нельзя его видеть. Такой философией, на наш взгляд, оказалась диалектика, принципы которой разрабатывались и много раньше, но по-настоящему востребованными стали именно теперь. значительную роль в разрешении сложившейся ситуации сыграли Кант и Гегель, которые, основываясь на современных им достижениях математики, довели анализ проблемы бесконечно малых до понимания их закономерной диалектической противоречивости. К сожалению, указания на диалектическую природу кризиса, данные представителями немецкой классической философии, не нашли должного отклика в среде математиков XIX столетия (за исключением, быть может, А. де Моргана и Б. Больцано).

3. Конец XIX века. Кризис статуса математической науки, правомерности построения ее объектов, критерия истинности утверждений. Третий кризис оснований математики, связанный с обнаружением парадоксов в теории множеств Г. Кантора. Первым шагом стала попытка обоснования математики с помощью теории множеств. Георг Кантор попытался перевести все математические теории на язык теории множеств (все термины и предложения). Для большинства теорий это удалось. Но в самой теории множеств обнаружились логические противоречия, поставившие под сомнение её как основание математики.

Можно прийти к выводу, что наступление следующего, четвѐртого кризиса – не такая уж отдалѐнная перспектива. Отчасти это подтверждается самыми последними философскими исследованиями отдельных областей математики.

2.5) Стандартные и нестандартные программы обоснования математики (источник: деление Бажанова)

Контуры философии математики как относительно самостоятельного философского направления начали обрисовываться, по-видимому, во второй половине XIX века. Однако ее оформление в качестве полноценной дисциплины и осознание ее значения для судеб развития математики относятся к периоду кризиса в основаниях математики на рубеже XIX – XX веков. В течение достаточно короткого времени обозначились альтернативные подходы к истолкованию природы математики, методов и абстракций, которые допускалось использовать. Всё это по существу составило фундамент перспективных исследований в русле философии математики и ее оснований. Речь идет, точнее, о платонизме (иногда называемом реализмом), интуиционизме, логицизме, формализме (дедуктивизма), конструктивизме, финитизме, эмпиризме – если иметь в виду основные течения, концептуальные рамки которых были обозначены с течением времени. Эти течения в большей или меньшей степени известны, общеприняты и их установки и принципы осмыслены. Их можно назвать стандартными в силу их общезначимости.

Между тем, примерно с середины ХХ века начинают развиваться и иные подходы в философии математики, которые не укладываются в границы, очерчиваемые названными выше направлениями. Поэтому условно их можно отнести к нестандартным подходам (направлениям) в философии математики.

 Нестандартные подходы в философии математики, как правило, предлагают оригинальные и существенно новые ракурсы рассмотрения, которые позволяют высветить ранее незамеченные механизмы развития математического знания, математических методов и закономерностей развития этой науки. Эти подходы являются дополнительными к стандартным подходам или же альтернативными к ним.

 Натурализм (существующий в нескольких формах) отрицает значение философии для математики и ее оснований, а, стало быть, по существу значение и само существование философии математики (Дж. Бургесс, П. Мэдди). В самой математике есть все средства, которые необходимы для интерпретации или реконструкции математического знания, и философские абстракции здесь излишни. Эта точка зрения вызывает серьезные и аргументированные возражения (А. Пасо).

 Социальный конструктивизм истолковывает математику как продукт социальной деятельности, культуры, который изменяется по мере развития общественной практики и/или культуры (Т. Тимошко, Р. Херш, П. Эрнест). Математика в данном подходе рассматривается как эмпирическая наука, достижения которой определяются уровнем социального конструирования и пересматриваются по мере трансформации социальной реальности.

 Структурализм (особенно в его элиминативной форме) утверждает невозможность описания объектов вне контекста их существования как систем. Невозможность представить объект как систему влечет бессмысленность рассуждений об его структуре (в своего рода крайнем номинализме, например, П. Бенасеррафа).

Контекстуализм настраивает на изучении математических реалий в самой тесной связи со средой существования математических представлений. Здесь основное внимание уделяется т.н. фолк (народной) математике и/или этноматематике (трактовке природы математики как элемента национальной, этнической культуры в существенно бóльшей степени, чем формальной системы).

Фикционализм, который также принято считать формой современного номинализма, сосредоточен на интерпретации математических объектов как не относящихся ни к какой реальности (а не на изменении методологии математики) и ее логических следствиях (Х. Филд). Математика и ее объекты здесь предстают как некоторые продукты чистой фантазии.

 Квази-эмпиризм склонен считать, что математика близка по своим методам и методологии к эмпирическому знанию. В ней не только доказываются теоремы, но и высказываются и проверяются гипотезы (Х. Патнем), а, значит, можно сказать, что она, как и физика, развивается гипотетико-дедуктивным способом. Считается, что современный квази-эмпиризм представлен уже И. Лакатосом, хотя его замысел восходит к Дж. Ст. Миллю.

 Следует упомянуть о таком достаточно заметном подходе в философии математики, который соответствует духу ныне модной эволюционной эпистемологии. Речь идет о концепции т.н. "физиологического"(embodied mind) истолкования математики (Дж. Лакофф, Р. Нюньез, М. Джонсон, К. Девлин). Сторонники этого подхода настаивают, что математика является органичным продуктом развития средств человеческого познания, что она физиологически (даже на уровне структур мозга) предопределена и вытекает из опыта пересчета дискретных объектов. Математика и ее объекты конструируются, а не открываются (в противовес тому, как считают, например, платонисты).

Здесь надо вспомнить идею В.Н. Тростникова о нейрофизиологической предопределенности математического познания, высказанную задолго до появления "физиологической" интерпретации математики. Этот – "нейрофизиологический" – подход концептуально отличен от последней. Он исходит из некоторого рода корреляции математических структур и операций с теми нейрофизиологическими особенностями, которые отличают человеческий мозг, органы зрения и/или элементы т.н. перцептивного пространства.

В связи с возникновением паранепротиворечивой математики возникает перспектива оформления своего рода негёделевой философии математики, где на передний план выходят понятия тривиализуемости и параполноты. Принцип непротиворечивости здесь уступает место принципу невыводимости из посторонних посылок. Собственно тривиализующими предложениями и будут посторонние посылки. Невыполнение этого принципа в "непротиворечивой" математики происходит в силу действия принципа "из противоречия следует всё, что угодно". В результате приходится пересматривать соотношение между истинностью и доказуемостью. Так, паранепротиворечивость формальной системы означает, что формулы А и не-А являются в ней теоремами. Для того, чтобы приписать формуле А значение "истинно", нужно установить, что не-А в данной системе недоказуема. В противном случае допустимо утверждать лишь "неложность" А. Значит, связь между истинностью и ложностью ослабляется.

 Наконец, в современной философии математики можно наблюдать становление таких подходов, которые по своему духу близки дискурс-анализу или основанных на анализе эстетических особенностей математических процедур, позволяющих предпочитать одни доказательства другим в силу их большей изящности.