Интуиционизм - философия математики, основанная на представлении о математическом творчестве, как о мысленной конструктивной деятельности субъекта, опирающейся на исходные интуиции (пра-интуиции) сознания. Свое начало интуиционизм берет в работах Канта, который пытался вывести математическое понятие из чистого созерцания пространства и времени и настаивал на конструктивном характере производных математических объектов. Голландский математик Л. Брауэр положил идеи интуиционизм в основу своей программы перестройки классической математики. В этом плане интуиционизм выступает наряду с логицизмом и формализмом как одна из программ обоснования математики, выдвинутых в начале XX в. в ответ на появление парадоксов в теории множеств.

Основное отличие Брауэра от Канта состоит в том, что последний пытается свести все исходные интуиции математики к интуиции времени, считая пространственные интуиции не вполне удовлетворяющими требованию строгости математического мышления. Другое важное отличие состоит в том, что Брауэр ограничивает область действия классической логики, которую Кант принимал в качестве абсолютного и универсального инструмента мышления. Классическая логика ограничивается Брауэром за счет отказа от использования закона исключенного третьего применительно к бесконечным множествам и за счет существенного изменения смысла таких понятий, как «все» и «существует». Согласно Брауэру, мы можем утверждать нечто о всех элементах множества в целом только в том случае, если имеем конструктивную процедуру обоснования этого утверждения для каждого элемента этого множества в отдельности. Общая установка Брауэра состоит в том, чтобы использовать логику только в тех границах, в которых она не выводит математическое рассуждение за сферу прямого конструктивного оправдания. Математика, по Брауэру, должно быть обоснована исключительно на первичных математических интуициях, логические же схемы должны считаться приемлемыми лишь в той мере, в которой они согласуются с этими интуициями. Брауэр возражал против попыток строгого формального определения допустимой логики и принципов конструирования, полагая, что то и другое определяется на основе непосредственной интуиции в самом акте математического мышления и в зависимости от его содержания.

В теории доказательства интуиционизм подчеркивает примат интуитивной основы математического рассуждения над его языковым оформлением. Математическое рассуждение, по Брауэру, осуществляется на основе непосредственного интуитивно ясного соединения значений и не зависит от языка, который является лишь несовершенным средством передачи математической мысли. Сторонники логицизма, по его мнению, выхолащивают содержание математики, превращая математическое рассуждение в мертвую стенографию. Строгость математики, по Брауэру, обеспечивается не на уровне языка и символов, а исключительно на уровне интуитивной ясности рассуждения. Строгое математическое рассуждение, подчеркивал Брауэр, реализуется не на бумаге, а в голове математика.

Интуиционистский анализ математики призван был, по Брауэру, выявить некоторого рода неразрушимый центр математического мышления, позволяющий обосновать математику в целом, гарантируя, в частности, отсутствие противоречий в основных математических теориях. Большинство современных математиков и философов согласны с тем, что интуиционистски обоснованная часть математики может рассматриваться в качестве безупречно обоснованной. Интуиционизм как программа обоснования математики является, однако, недостаточным, поскольку значительная часть реально функционирующего математического знания не поддается перестройке в соответствии с интуиционистскими критериями. Это относится прежде всего к математическому анализу и к теории множеств, т.е. к дисциплинам, основанным на применении классической логики в полном объеме к бесконечным множествам. Известно, что уже первые положения классического анализа, такие, как теорема Ролля или теорема Больцано—Вейерштрасса, являются недоказуемыми в рамках интуиционистских требований.

Последователи Брауэра пошли по пути логического уточнения принципов интуиционизм и выражения их в виде более строгих математических критериев. Важнейшим достижением на этом пути является построение формальной интуиционистской логики (А. Гейтинг), строгой теории интуиционистского континуума (Г. Вейль), семантики интуиционистской логики (С.К. Клини). Наиболее значимым достижением, относящимся к этому направлению, является, несомненно, строгое определение понятия алгоритма (А. Тьюринг, Э. Пост, А.А. Марков), позволившее перейти от интуиционизма к конструктивной математике. Эти достижения, однако, были существенным отходом отдуха первоначальной концепции Брауэра, которая была основана на чисто интуитивном истолковании принципов логики и понятия математического построения.

Из конспекта Паткуля. Интуиционизм — система идей философии математики, связанная с пониманием предмета математики, существование которого ограничивается чистыми формами чувственности, а сама математика понимается как совокупность умственных построений, получающих убедительность путем сопоставления с чистым созерцанием. Существование математического объекта = данность объекта в чувственном созерцании. Базовый критерий истинности математического познания — интуитивная убедительность. Предполагается возможность мысленного эксперимента.

Интуиционизм отвергает теоретико-множественное обоснование математики и теоретико-множественный подход к определению понятий математики, отвергает некоторые формы суждения, принятые в классической логике. Закон исключенного третьего применим только к конечным областям.

Наиболее яркое применение в теории меры, ФАНе, диффурах.

Представители: голландский кантианец Лёйтзен Эгберт Ян Брауер (1881-1966) — представитель классического интуиционизма, Герман Вейль.

По Канту. Интуиционизм с одной стороны связывает математическое знание с чувственным восприятием, с другой стороны избегает эмпиризма.

Способом познания математического объекта не является чистое мышление, он [объект] дан нам через чувственное созерцание.

Общие математические суждения всеобщи и непоколебимы => получены не эмпирически.

Пространство и время не существуют сами по себе.

Математика формулирует всеобщие и необходимые суждения.

Бытие и данность для математического объекта есть одно и то же.

По Канту чистая математика — чувственно-синтетическая.

Основной метод в математике с точки зрения интуиционизма — конструирование математических объектов.