Обоснование – демонстрация возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предположений о них. Умозрительны не только объекты математики, но и ее методы. Объекты либо постулируются, либо доказываются со ссылками на существующие, и там тоже есть постулаты. Объекты принимаются при помощи постулатов. Философский вопрос – связь математической теории с реальностью.

Обоснование - это нахождение единых понятий и правил, из которых следуют все остальные тезисы математической науки. С одной стороны можно рассматривать только с точки зрения математики, с другой, имеет место философский аспект: почему именно такое положение? Как оно обосновано? Как существует предмет? Что он есть? и т.д.

Обоснование математики аккумулирует, как философские, так и математические проблемы. (Логицизм, формализм и т.д.).

Неясности:

1) “обоснование”=(принято)=“основа”.

2) «обоснование математики» звучит неестественно, поскольку математика всегда считалась эталоном надежности и достоверности человеческого познания. Математические знания неизменно подтверждались на практике, в процессе применения тех или иных мат. методов, как демонстрирация их эффективность. Однако философия науки всегда разделяла практическую эффективность и теоретическую обоснованность. В результате получалось, что проблема обоснования математики не получала определенного смысла.

3) понятие обоснования ~ понятие доказательства — не способствовало выработке самостоятельного концептуального осмысления проблемы обоснования математики.

4) обоснование математики мыслилось как обоснование какого–либо фрагмента математического знания (теории, например), имеющимися в математике средствами.

Будем исходить из того, что предметом обоснования выступает математика как целостная наука. Ясно, что подтвердить науку в прямом смысле слова невозможно. Речь может идти лишь о подтверждении некоторого гносеологического образа науки, в котором отражены ее специфические черты и качественное своеобразие в системе научного знания. При этом сам образ всегда ориентирован на определенный идеал познания.

Отличительные признаки математики: строгость, достоверность. Однажды доказанный результат, мог быть обобщен, усовершенствован, даже частично пересмотрен, но никогда не отбрасывался как ложный. Собственно обосновательной деятельностью в этом плане считалась любая деятельность, направленная на объяснение причин или оснований упомянутых свойств математического познания. Среди различных объяснений такого рода в качестве главного объяснительного фактора всегда фигурировала ссылка на дедуктивный характер математических истин.

Доказательства непротиворечивости являются бессмысленными, поскольку не дают никакой гарантии против противоречий, возникновение которых связано с применением теоретических средств, а вовсе не со структурой или строением теории. В силу того, что избежать нежелательного употребления теоретических средств в принципе невозможно, любые основания математики будут ненадежными. (Витгенштейн)

Современное состояние проблемы обоснования математики. Основное требование к математике и цель ее обоснования — ее непротиворечивость. Обоснование математики состоит в устранении существующих противоречий и в выработке средств анализа, предупреждающих появление таких противоречий в будущем. Единая программа обоснования математики типа гильбертовской или расселовской в настоящее время уже невозможна. Невозможна единая теоретическая база обоснования математики, т.е. невозможно обосновать математику сведением всех ее положений к ее одному разделу. Ни логика, ни арифметика не могут выступать в качестве такой последней основы. Обоснование математики не временный, но пост процесс, необходимая сторона развития математических знаний в целом.

Проблема обоснования математического знания на различных стадиях его развития. Геометрическое обоснование алгебры в античности. Проблема обоснования математического анализа в XVIII веке. Поиски единой основы математики в рамках аксиоматического метода. Открытие парадоксов и становление современной проблемы обоснования математики.

Логицистская установка Г.Фреге. Критика психологизма и кантовского интуиционизма в понимании числа. Трудности концепции Г.Фреге. Представление математики на основе теории типов и логики отношений (Б.Рассел и А.Уайтхед). Результаты К.Геделя и А.Тарского. Методологические изъяны и основные достижения логицистского анализа математики.

Идеи Л.Брауэра по логицистскому обоснованию математики. Праинтуиция как исходная база математического мышления. Проблема существования. Учение Л.Брауэра о конструкции как о единственно законном способе оправдания математического существования. Брауэровская критика закона исключенного третьего. Недостаточность интуиционизма как программы обоснования математики. Следствия интуиционизма для современной математики и методологии математики.

Гильбертовская схема абсолютного обоснования математических теорий на основе финитной и содержательной метатеории. Понятие финитизма. Выход за пределы финитизма в теоретико-множественных и семантических доказательствах непротиворечивсти арифметики. (Г.Генцен, П.Новиков, Н.Нагорный). Теоремы К.Геделя и программа Гильберта: современные дискуссии.