Математический конструктивизм — это направление в метаматематике и математической логике и построенные на его основе логико-математические теории. В двадцатые годы прошлого столетия в связи с попытками решения проблем, возникших в обосновании математики, наряду с программами логицизма, формализма и интуиционизма была создана программа математического конструктивизма, которая в дальнейшем оказала существенное влияние на развитие эпистемологии.

Фундаментальной идеей конструктивной математики является идея конструктивного процесса, процесса построения некоторого объекта А, одинакового с объектом А. Один из создателей этой ветви неклассической математики А. А. Марков, например, утверждал, что она представляет собой абстрактную, умозрительную науку «о конструктивных процессах, о нашей способности осуществлять такие процессы и их результатах - конструктивных объектах».

Наиболее простым и понятным примером такого рода объектов являются слова в алфавите с фиксированным набором знаков – букв. Каждое слово в этом случае получается в результате его построения (написания) из этих знаков буква за буквой. В качестве частного случая здесь могут быть натуральные числа, которые строятся из алфавита {0, 1} как слова, которые начинаются с нуля и не содержат никаких других его вхождений: 0, 01, 011, 0111, и т.д. Еще одним вариантом таких конструктивных объектов могут служить рациональные числа, получаемые тем же способом, что и натуральные из алфавита, в котором кроме знаков «0» и «1» наличествуют знак вычитания - «-» и знак дроби - «/», т.е. {0, 1, - , /}.

Смысл конструктивной математики в том, что в ее рамках исследователи работают лишь с конструктивными объектами, опираясь лишь на понятие абстрактной потенциальной осуществимости, оставляя за пределами своей деятельности абстракцию актуальной бесконечности. Кроме этого в области конструктивной математики игнорируют «чистые» теоремы существования. Это связано с тем, что в ней существование объекта с заданными свойствами признается лишь в том случае, когда указывается способ потенциально осуществимого построения объекта с этими свойствами.

Таким образом, конструктивисты и «классики» по-разному понимают самый термин «существование» в связи с математическими объектами. Впрочем, есть все основания думать, что «классики» вообще не вкладывают в этот термин смысла, поскольку они никогда не поясняют его. Конструктивному пониманию существования математического объекта соответствует конструктивное понимание дизъюнкций - предложений вида «Р или Q». Такое предложение тогда считается установленным, когда хотя бы одно из предложений Р, Q установлено как верное. Это понимание дизъюнкции не дает оснований считать верным закон исключенного третьего: «Р или не верно, что Р» .

Очевидно, что конструктивная математика обладает определенной спецификой. Наиболее важными ее отличиями чаще всего считают:

- наличие своей собственной - конструктивной - логики, в которой игнорируются законы исключенного третьего и двойного отрицания;

- признание того, что выводимость формулы «jÚy» влечет выводимость формулы «j» или формулы «y», а выводимость формулы $x j(x) предполагает выводимость «j(t)» для какого-либо конкретного терма вида t.

- принятие тезиса Черча, в соответствии с которым любая вычислимая в интуитивном смысле функция считается рекурсивной.

Оценивая вклад конструктивной математики в развитие математической науки в целом, можно сказать, что ориентация на построения в принципе, а не в реальности, позволила конструктивизму разработать ряд красивых систем, имеющих большее отношение к реальности, чем те, которые с самого начала ограничивали себя ориентацией на непосредственную применимость.

Конструктивная математика в своей совокупности со своим методом, а также понятиями абстракций потенциальной осуществимости и отождествления, рекурсивной функции, нормального алгоритма, конструктивной последовательности и др., действительно, оказалась надежным фундаментом для разработки новых подходов в области математического анализа. На этом фундаменте была построена конструктивная теория функций действительного переменного, доказана теорема о непрерывности конструктивных функций, эффективно развиваются конструктивные теории дифференцирования и интегрирования, конструктивный функциональный анализ, рождаются новые методы исследования математической реальности.

Математический конструктивизм оказал существенное влияние не только на развитие математики, но и эпистемологии. Рассматривая его в качестве одного из вариантов конструктивизма в эпистемологии, исследователи выходят за границы собственно математического знания и сталкиваются со множеством вопросов философского характера, которые до сих пор не имеют однозначных ответов.

Представители предикативного и социального конструктивизма (Ч. Феферман, Т. Тимошко, Р. Херш, П. Эрнест и др.), например, предлагают ответ, суть которого сводится к тому, чтобы считать математику эмпирической наукой, теории которой представляют собой социальные конструкты, а их «качество» зависит от характера изменений, которые происходят в социальной реальности.

Рубен Херш, например, в одной из своих работ утверждал, что математика – это часть культуры, что её нельзя рассматривать вне человеческой деятельности, вне социокультурного контекста. Математические объекты создаются людьми, а не произвольно, и зависимы не только от характера деятельности с этими объектами, но и от потребностей науки и повседневной жизни.

Еще один представитель социального конструктивизма в математике Пол Эрнест, стремясь «выработать особую форму философии математики», исходит из того, что «знание не пассивно присваивается, а активно конструируется». При этом он акцентирует внимание на том, что любая теория, включая и математическую, являются результатом социального согласия; что в ходе их разработки «вырабатываются образцы и правила использования языка»; что математика есть не что иное как «теория форм и практик, которые возникают вместе с языком».

Очевидно, что П. Эрнест, говоря о природе математики, связывает ее с языком, что во многом сходно с идеями Рэндана Коллинза, сформулированными им в работе «Социальная реальность математики и естествознания». В ней он неоднократно подчеркивает, что математика – это социальный дискурс. Она представляет собой социальную реальность именно потому, что «она неизбежно является дискурсом в некотором социальном сообществе», в силу того, что «каждый, кто причастен к математике, даже на уровне понимания уравнения элементарной арифметики, включен в некую форму социального дискурса и некоторую сеть учителей и исследователей, делающих открытия».

Но кроме этого, математика, по мнению Р. Коллинза, социальна еще и потому, что её предметом «являются операции, а не вещи», эти математические операции «социальны, начиная от элементарного уровня счета и далее», и не только потому, что мы учимся считать у кого-то другого, а еще и потому, что, считая, мы осуществляем определенную социальную деятельность.

Социальность математики, с его точки зрения, проявляется не только на уровне элементарной, но и на уровне высшей математики. «Социальная структура математики, - пишет Р. Коллинз,- имеет вид пирамиды. В основании находится огромное сообщество тех, кто использует конвенции счета и арифметики. На каждой более высокой ступеньке располагаются сообщества все более специализирующихся и эзотерически мыслящих математиков – сети, в которых коммуникативные операции и конвенции более низкого уровня берутся в качестве предмета абстрагирования и рефлексивного обобщения» ^[22] .

Конструктивизм - одна из разновидностей интуиционизма, но иногда трактуется самостоятельно. Для математических объектов существовать— значит быть построенными. Для существования математического объекта непротиворечивости недостаточно, нужно еще и построение. Математические объекты не существуют извечно (ни как структуры разума ни еще как). Не важно, кто мыслит. Любое мышление осуществляется по законам логики. Математические объекты рождаются в ходе развертывания конструктивных процессов, а затем исчезают в силу различных причин (мат. утверждение существует, пока оно зафиксировано на каком-то материальном носителе). Математика рассматривается как техника создания формул.

Понятие «потенциальной осуществимости» означает наличие в нашем распоряжении такого фиксированного метода, который позволяет воспроизводить данный математический объект любое необходимое для нашей познавательной деятельности число раз.

Конструктивизм характерен для отечественной математики. Конструктивизм не признает математическое построение чисто умственным занятием. Сами по себе математические построения не являются логическими.

Понятие алгоритма было введено именно в конструктивистской математике. Алгоритм — последовательность шагов, где каждый данный шаг однозначно детерминирован предыдущими и, в свою очередь, однозначно детерминирует последующий шаг, т.е. мы знаем, что и в какой именно последовательности необходимо делать для того, чтобы гарантированно получить желаемый результат.

Алгоритм вносит точность предписание, не оставляя места произволу; вносит возможность решения по одной и той же программе разных задач из одного класса (массовость алгоритма); вносит направленность, организуя достижение известной цели и гарантируя искомый результат.