Продолжаем рассматривать неопределенность вида 
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Пример 3
Найти предел 
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
20.2 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА 
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда 
, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример 4
Вычислить предел 
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что 
, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим 
в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на 
Вот оно как, ответ 
, а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак 
, он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Пример 5
Найти предел 
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности 
делим числитель и знаменатель на 
.
Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 6
Найти предел 
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как 
)
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на 
. Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью 
подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
ПРАКТИКУМ 20
ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"
Решение:
Если вместо переменной 
поставить значение 7, к которому она стремится, то получим неопределенность вида 
тогда
ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"
Решение:
Если вместо переменной поставить значение 0, к которому она стремится, то получим неопределенность вида тогда
ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"
Решение:
Если вместо переменной поставить значение 6, к которому она стремится, то получим неопределенность вида 
тогда
ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"
Решение:
Так как 
и 
то имеет место неопределенность вида 
Для ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на . Тогда, зная, что 
получим:
ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"
Решение:
Так как 
и 
то имеет место неопределенность вида 
Для ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на 
. Тогда, зная, что 
получим:
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 20
ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"
ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"
ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"
ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"
ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"
Предел функции 
равен …
ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"
ТЕМА 21 ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
КОНСПЕКТ 21
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходиться мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически.
ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Рассмотрим следующий предел: 
Согласно правилу нахождения пределов пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:
Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.
Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:
– тот же самый первый замечательный предел.
! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде 
, то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.
На практике в качестве параметра 
может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.
Примеры:
, 
, 
, 
Здесь 
, 
, 
, 
, и всё гуд – первый замечательный предел применим.
А вот следующая запись – ересь:
Почему? Потому-что многочлен 
не стремится к нулю, он стремится к пятерке.
Пример 1
Найти предел 
Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.
Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):
Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится 
, а в знаменателе 
.
В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:
То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:
Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:
Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:
Готово. Окончательный ответ: 
ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела.
Справка: 
– это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.
Пример 2
Найти предел 
Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.
Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение 
Нетрудно заметить, что при основание степени 
, а показатель – 
, то есть имеется, неопределенность вида 
:
Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр 
, значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень 
:
Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву 
:
При этом сам значок предела перемещаем в показатель.
ПРАКТИКУМ 21
ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Первый замечательный предел
…
Решение:
Чтобы воспользоваться первым замечательным пределом 
необходимо, используя соотношение 
вынести множитель 
за знак предела. Тогда: 
ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Первый замечательный предел
…
Решение:
Чтобы воспользоваться первым замечательным пределом 
необходимо, используя соотношение 
вынести множитель 
за знак предела. Тогда: 
ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Второй замечательный предел
Пусть 
. Тогда 
равен …
Решение:
Обращаем внимание, что функцию 
нужно преобразовать так, чтобы использовать второй замечательный предел – формулу 
.
Для этого числитель и знаменатель дроби необходимо разделить на число 
,
получается 
Далее нужно выполнить замену переменной, полагая 
. Тогда если 
,
то 
, 
и, следовательно,
Получаем 
ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Второй замечательный предел
Пусть 
. Тогда 
равен …
Решение:
Обращаем внимание, что функцию 
нужно преобразовать так, чтобы использовать второй замечательный предел – формулу 
.
Для этого числитель и знаменатель дроби необходимо разделить на число 
,
получается 
Далее нужно выполнить замену переменной, полагая 
. Тогда если 
,
то 
, 
и, следовательно,
Получаем 
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 21
ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Первый замечательный предел
…
ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Первый замечательный предел
…
ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Первый замечательный предел
…
ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Второй замечательный предел
Пусть 
. Тогда 
равен …
ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Второй замечательный предел
Пусть 
. Тогда равен …
ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Второй замечательный предел
Пусть 
. Тогда равен …
ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Второй замечательный предел
Пусть 
. Тогда равен …
ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Второй замечательный предел
Пусть 
. Тогда равен …
Дата: 2019-07-31, просмотров: 199.
