КОНСПЕКТ 12

14.1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой с первого курса формулы Ньютона-Лейбница:

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа в определенном интеграле никогда не добавляется. Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число.

Готово.

14.2 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:

Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:

– в таком виде интегрировать значительно удобнее.

Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:

– это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования, правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:

Пример 1

Вычислить определенный интеграл

Решение:

СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом: – первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут (особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно).

ПРАКТИКУМ 12

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
Определенный интеграл равен …

Решение:
Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид:

Тогда, используя формулу , имеем:

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Свойства определенного интеграла
…

Решение:
Используя свойство интеграла и применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим:

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Свойства определенного интеграла
Определенный интеграл равен …

Решение:
Обращаем внимание, что используя свойства интеграла
и
, исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница
, получим:

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Свойства определенного интеграла
Определенный интеграл равен …

Решение:
Обращаем внимание, что используя свойства интеграла
и
, исходный интеграл можно представить в виде суммы двух слагаемых и, применяя формулу Ньютона – Лейбница
, получим:

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Свойства определенного интеграла
…

Решение:
Используя свойства интеграла и
, исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница
, получим:

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Свойства определенного интеграла
…

Решение:
Используя свойство интеграла и применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим:

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
Определенный интеграл равен …

Решение:
Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид:

Тогда, используя формулу , имеем:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 12

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
…

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
…

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Свойства определенного интеграла
…

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Свойства определенного интеграла
Определенный интеграл равен …

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
Определенный интеграл равен …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
Определенный интеграл равен …

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
…

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
…

ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Свойства определенного интеграла
…

ТЕМА 13 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

КОНСПЕКТ 13