То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости некоторую кривую (её можно всегда при желании начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно. В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):

Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница .

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

Физический смысл определенного интеграла в механике состоит в том, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле:
.

ПРАКТИКУМ 13

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 9 секунд от начала движения, равен …

Решение:
Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле:
.
Тогда, используя условие, имеем:

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 2 секунды от начала движения, равен …

Решение:
Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле:

Тогда, используя условие, имеем:

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью ОХ, равна …

Решение:
Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формуле
В данной задаче сначала необходимо найти пределы интегрирования (точки пересечения параболы с осью ОХ):
Тогда

Площадь фигуры равна (кв. ед.).

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за время от второй секунды до шестой секунды движения, равен …

Решение:
Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле:
.
Тогда, используя условие, имеем:

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью ОХ, равна …

Решение:
Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формуле
В данной задаче сначала необходимо найти пределы интегрирования (точки пересечения параболы с осью ОХ):
Тогда

Площадь фигуры равна (кв. ед.).

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, равен …

Решение:
Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле:
.
Тогда, используя условие, имеем:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 13

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью ОХ, равна …

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за время от второй секунды до четвертой секунды движения, равен …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 3 секунды от начала движения, равен …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, равен …

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью ОХ, равна …       

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения, равен …

ЗАДАНИЕ N 7

Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 3 секунды от начала движения, равен …

РАЗДЕЛ 5.