ТЕМА 15 ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА. ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ. ОБЪЕМ ВЫБОРКИ

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

КОНСПЕКТ 15

15.1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Математическая статистика возникла (XVIII в.) и создавалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие этой дисциплины (начало 20в.) обязано, в первую очередь, П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову. Основные результаты, ставшие в настоящее время классическими, были получены учеными англо – американской школы – К. Пирсон, Р.Фишер, Ю.Нейман, А.Вальд, В.Феллер и др. и российскими математиками –В.И.Романовский, Е.Е.Слуцкий, А.Н. Колмогоров, Н.В.Смирнов. Годом рождения современной математической статистики следует считать 1933 г. – год опубликования работы академика А.Н.Колмогорова «Основные понятия

теории вероятностей». Именно в это время математическую статистику выделили из теории вероятностей в отдельную дисциплину.

В теории вероятностей, если мы изучаем случайную величину X, ее закон распределения считается заданным, и мы можем достоверно ответить на любой вопрос, касающийся данной случайной величины. В математической статистике ситуация прямо противоположная – мы ничего не знаем о законе распределения изучаемой случайной величины X. У нас имеются только некоторые ее наблюдения или измерения.

Понятно, что по конечному числу наблюдений невозможно достоверно сделать какие-либо выводы об изучаемой случайной величине. Ясно также, что чем больше таких наблюдений, тем более надежными будут наши приближенные выводы. В этом состоит основная особенность математической статистики – она не определяет достоверно закономерности поведения изучаемых случайной явлений, а оценивает их с той или иной степенью достоверности. Но при неограниченном увеличении числа наблюдений выводы математической статистики становятся практически достоверными. Поэтому содержание этой дисциплины – как и сколько сделать наблюдений и как их обработать, чтобы ответить на интересующий нас вопрос о случайном явлении с требуемой степенью достоверности. Итак, установление закономерностей, которым подчинены массовые

случайные явления основано на изучении статистических данных – результатах наблюдений.

Математическая статистика решает две главные задачи: указать способы сбора и группировки (если данных очень много) статистических сведений (результатов наблюдений) и разработать методы анализа собранных статистических данных в зависимости от целей исследования.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

15.2 ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

Некоторое предприятие выпускает партию одинаковых деталей. Если контролируют детали по размеру – это количественный признак. Можно производить этот контроль сплошным обследованием, то есть измерять каждый из объектов совокупности. Но на практике сплошное обследование применяется редко:

а) из-за очень большого числа объектов;

б) из-за того, что иногда обследование заключается в физическом уничтожении, например, проверяем взрываемость гранат или проверяем на крепость произведенную посуду и т.д.

В таких случаях производится случайный отбор ограниченного (небольшого) числа объектов, которые и подвергают изучению.

Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных объектов.

Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности.

При наборе выборки можно поступать двояко: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В связи с этим выборки подразделяются на повторные и бесповторные.

Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Это требование коротко формулируется так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).

Способы отбора выборки:

1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части:

а) простой случайный бесповторный;

б) простой случайный повторный.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части (если объем генеральной совокупности слишком большой):

а) типический отбор. Объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из ее «типичных» частей. Например, цех из тридцати станков

производит одну и ту же деталь. Тогда отбор делается по одной или по две детали с каждого станка в случайные моменты времени;

б) механический отбор. Например, если нужно выбрать 5% деталей, то выбирают не случайно, а каждую двадцатую деталь;

в) серийный отбор. Объекты выбирают не по одному, а сериями.

Итак, пусть из генеральной совокупности значений некоторого количественного признака произведена выборка объема N:

X = { x1 , x 2 , x 3 ,..., x N }.

Таблица вида 1.1

№	1	2	3	…	N
x	x1	x2	x3	…	xN

называется простым статистическим рядом, являющимся первичной формой представления статистического материала.

Из данных табл. 1.1 находят xmin и xmax , соответственно наименьшее и наибольшее значения выборки. Затем данные табл. 1.1 называемые вариантами, располагают в порядке возрастания. Тогда выборка X = { x1 , x 2 , x 3 ,..., x N }, записанная в порядке возрастания, называется вариационным рядом.

Размах выборки – это длина основного интервала [xmin ; xmax] , в который попадают все значения выборки.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x1, наблюдалось n1 раз, x2 – соответственно n2 раз, xk - nk раз и сумма всех ni и есть объем выборки: . Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательностьвариант, записанных в порядке возрастания, - вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки - относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно записать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

ПРИМЕР

Задано распределение частот выборки объёма n = 20

xi 2 6 12

ni 3 10 7

Написать распределение относительных частот.

РЕШЕНИЕ. Найдём относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

W₁ = 3/20 = 0,15, W₂ = 10/20 = 0,50, W₃ = 7/20 = 0,35.

Напишем распределение относительных частот:

x_i 2 6 12

W_i 0,15 0,50 0,35

КОНТРОЛЬ: 0,15 + 0,50 + 0,35 = 1.

ПРАКТИКУМ 15

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
, равен …

Решение:
Случайная величина Х принимает значение «1» − 5 раз, значение «2» − 11 раз, значение «3» − 29 раз и значение «4» − 15 раз. Тогда объем выборки.

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
, равен …

Решение:
Случайная величина Х принимает значение «1» − 3 раза, значение «2» − 6 раз, значение «3» − 7 раз и значение «4» − 4 раза. Тогда объем выборки.

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее
Выборочное среднее для вариационного ряда равно …

Решение:
Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: Значение «2» некоторая случайная величина принимает 2 раза, значение «3» – 1 раз, значение «6» – 4 раза и значение «13» − 3 раза. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
, равен …

Решение:
Случайная величина Х принимает значение «2» − 3 раза, значение «4» − 12 раз, значение «6» − 8 раз и значение «8» − 7 раз. Тогда объем выборки.

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее
Выборочное среднее для вариационного ряда равно …

Решение:
Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: Значение «1» некоторая случайная величина
принимает 1 раз, значение «3» – 2 раза, значение «4» – 2 раза и значение «5» − 5 раз. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
, равен …

Решение:
Случайная величина Х принимает значение «1» − 15 раз, значение «2» − 5 раз, значение «3» − 20 раз и значение «4» − 10 раз.
Тогда объем выборки.

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее
Выборочное среднее для вариационного ряда равно …

Решение:
Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки:
Обращаем внимание, что значение «3» некоторая случайная величина
принимает 1 раз, значение «6» – 2 раза, значение «7» – 4 раза и значение «9» − 3 раза. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 15

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее
Выборочное среднее для вариационного ряда равно …

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее
Выборочное среднее для вариационного ряда равно …

ЗАДАНИЕ N 3

Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее
Выборочное среднее для вариационного ряда равно …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
, равен …

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
, равен …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
, равен …

ЗАДАНИЕ N 7

Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
, равен …

РАЗДЕЛ 6.

ТЕМА 16 ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

КОНСПЕКТ 16

16.1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексным числом Z называется число вида , где и – действительные числа, –мнимая единица. , а значит Число называется действительной частью ( ) комплексного числа Z, число называется мнимой частью ( ) комплексного числа Z

16.2 ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ, ЗАДАННЫМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

Пример 1

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Пример 2

Найти разности комплексных чисел , если ,

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

УМНОЖЕНИЕ

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.

Повторим школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

ДЕЛЕНИЕ

Пример 4

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:

ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ

Пример 5

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде

Пример 6

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

16.3 РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим пример:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: , , , , и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.

Пример 7

Решить квадратное уравнение

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным школьным формулам получаем два корня:

– сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,

ПРАКТИКУМ 16

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел и равно …

Решение:
Напоминаем, что произведение данных комплексных чисел можно найти по правилу умножения одночлена на двучлен с учетом равенства
Тогда получим:

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел и равно …

ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел и равно …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения равны …

Решение:
Учитывая равенство , мы можем найти корни данного уравнения, принадлежащие множеству комплексных чисел; получим:

Корнями уравнения являются комплексные числа и

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения равны …

Решение:
Напоминаем, что дискриминант квадратного уравнения находится по формуле
; для исходного уравнения
, но учитывая равенство , мы можем найти корни уравнения, принадлежащие множеству комплексных чисел; получим:

Корнями уравнения являются комплексные числа и .

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения равны …

Решение:
Учитывая равенство мы можем найти корни данного уравнения, принадлежащие множеству комплексных чисел; получим:

Корнями уравнения являются комплексные числа и .