В самой примитивной формулировке дифференциал – это «почти то же самое, что и производная».

Производная функции чаще всего обозначается через .

Дифференциал функции стандартно обозначается через (так и читается – «дэ игрек»)

Дифференциал функции одной переменной записывается в следующем виде:

Другой вариант записи:

Простейшая задача: Найти дифференциал функции

1) Первый этап. Найдем производную:

2) Второй этап. Запишем дифференциал:

Готово.

Дифференциал функции одной или нескольких переменных чаще всего используют для приближенных вычислений.

Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать формулу: где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше.

10.2 ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Для того, чтобы получить простейшую приближенную формулу для производной, нужно знать только ее определение:

.                                           (3.1)

При малом h можно положить:

.                                                (3.2)

Это и есть простейшая приближенная формула.

В определении (3.1) h может принимать значения обоих знаков. В дискретной записи принято обозначать через h положительное число, так что можно написать еще одну формулу:

                                    (3.2´)

Какую ошибку мы совершаем, заменяя производную разностным отношением по формуле (3.2)? Это легко сообразить. Напишем:

.

Отсюда

,

где m₂=min | |, M₂ = max | |. При ошибка стремится к нулю со скоростью h или, как говорят, формула (3.2) имеет первый порядок точности. Сложением формул (3.2) и (3.2') получается симметричная формула:

.                                             (3.3)

Формула (3.3), как легко проверить, точнее формулы (3.2), а именно, ошибка здесь имеет порядок  — это есть формула второго порядка точности потому, что ошибка не превосходит , где M₃ = max | |. Это увеличение точности получилось только за счет симметрии. Это случается очень часто.

Рис. 1.

На рисунке 1 приведены результаты вычисления производной функции f(x) = sin(x) по трем разностным формулам (3.2, 3.2´ и 3.3) вместе с точным графиком производной.

ПРАКТИКУМ 10

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать формулу где приращение функции в точке
Функция y(x) определяется из условия задачи.
Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда приближенное значение выражения равно …

Решение:
. Так как , то можно рассмотреть функцию
Пусть тогда
Имеем:

По формуле
получим

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать формулу: где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда наилучшее приближенное значение выражения равно …

Решение:
. Так как , то можно рассмотреть функцию
Для имеем: Тогда
По формуле получим

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать формулу: где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда наилучшее приближенное значение выражения равно …

Решение:
. Так как , то можно рассмотреть функцию
Для имеем: Тогда

По формуле получим:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 10

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать формулу: где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда наилучшее приближенное значение выражения равно …

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке
можно использовать формулу: где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда наилучшее приближенное значение выражения равно …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать формулу где приращение функции в точке
Функция y(x) определяется из условия задачи.
Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда приближенное значение выражения равно …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать формулу где приращение функции в точке
Функция y(x) определяется из условия задачи.
Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда приближенное значение выражения равно …

РАЗДЕЛ 4