А вот это вот суровая действительность:
Пример 5
Найти производную функции 
Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:
8.2 ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Правило дифференцирования сложной функции:
Пример 6
Найти производную функции 
Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение 
, поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:
В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а 
– внешней функцией.
Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.
В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.
Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения 
при 
(вместо единицы может быть любое число).
Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: 
, поэтому многочлен и будет внутренней функцией 
:
Во вторую очередь нужно будет найти 
, поэтому синус – будет внешней функцией:
После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .
Начинаем решать. 
Сначала находим производную внешней функции 
(синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что 
. Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:
Обратите внимание, что внутренняя функция 
не изменилась, её мы не трогаем.
Ну и совершенно очевидно, что 
Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:
Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:
Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.
Пример 7
Найти производную функции 
Как всегда записываем:
Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения 
при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: 
, значит, многочлен 
– и есть внутренняя функция:
И, только потом выполняется возведение в степень 
, следовательно, степенная функция – это внешняя функция:
Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: 
. Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:
Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:
Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:
Готово.
Пример 8
Найти производную функции 
Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени 
. Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:
Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :
Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:
Готово.
8.3 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:
1) Необходимо найти производную.
2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.
Пример 9
Вычислить производную функции 
в точке 
Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:
В некоторых задания бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».
Сначала находим производную:
Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.
На втором шаге вычислим значение производной в точке :
Готово.
ПРАКТИКУМ 8
ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции 
равна …
Решение:
Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами
где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами
Тогда получим
ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции 
равна …
Решение:
Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами
где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами
Тогда получим
ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции 
равна …
Решение:
Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами
, 
, 
, где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами
Тогда получим
ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции 
равна …
Решение:
Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами
где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами
Тогда получим
ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Производная функции в точке
Если 
, то 
принимает значение, равное …
Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, 
Пусть 
тогда 
ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Производная функции в точке
Если 
, то 
принимает значение, равное …
Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, 
Пусть 
тогда 
ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Производная функции в точке
Если 
, то 
принимает значение, равное …
Решение:
Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем 
Пусть 
. Получим 
ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Производная функции в точке
Если 
, то 
принимает значение, равное …
Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, 
Пусть 
тогда 
ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Производная функции в точке
Если 
, то 
принимает значение, равное …
Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, 
Пусть тогда 
ЗАДАНИЕ N 11
Тема: Производная функции в точке
Если 
, то принимает значение, равное …
Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, 
Пусть 
, тогда 
ЗАДАНИЕ N 12
Тема: Производная сложной функции
Производная функции 
равна …
Решение:
Данная функция является сложной.
Пусть 
, тогда 
. Напоминаем, что производная сложной функции находится по формуле 
. Тогда получим
ЗАДАНИЕ N 13
Тема: Производная сложной функции
Производная функции 
равна …
Решение:
Данная функция является сложной. Пусть 
, тогда 
. Напоминаем, что производная сложной функции находится по формуле 
. Тогда получим
ЗАДАНИЕ N 14
Тема: Производная сложной функции
Производная функции 
равна …
Решение:
Данная функция является сложной.
Пусть 
тогда 
. Напоминаем, что производная сложной функции находится по формуле 
. Тогда получим
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 8
ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции 
равна …
ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции 
равна …
ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции 
равна …
ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Производная сложной функции
Производная функции 
равна …
ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Производная сложной функции
Производная функции 
равна …
ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Производная сложной функции
Производная функции 
равна …
ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Производная сложной функции
Производная функции 
равна …
ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Производная сложной функции
Производная функции 
равна …
ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Производная сложной функции
Производная функции 
равна …
ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Производная функции в точке
Если 
то 
принимает значение, равное …
ЗАДАНИЕ N 11
Тема: Производная функции в точке
Если 
, то принимает значение, равное …
ЗАДАНИЕ N 12
Тема: Производная функции в точке
Если 
, то 
принимает значение, равное …
ЗАДАНИЕ N 13
Тема: Производная функции в точке
Если 
, то 
принимает значение, равное …
ЗАДАНИЕ N 14
Тема: Производная функции в точке
Если 
то 
принимает значение, равное …
Дата: 2019-07-31, просмотров: 288.
