КОНСПЕКТ 6

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Прямая линия на плоскости – это одна из простейших геометрических фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться методами аналитической геометрии. Для освоения материала необходимо уметь строить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая, в частности, прямая, проходящая через начало координат и прямые, параллельные координатным осям.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Всем известный «школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Например, если прямая задана уравнением , то её угловой коэффициент: . Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой:

Напомним сведения об уравнении прямой на плоскости. Любое уравнение первой степени относительно неизвестных х и у является уравнением прямой на плоскости: АX + ВY + С = 0

Оно может быть записано в некоторых специальных видах:

а) уравнение с угловым коэффициентом у= kx+b , где k - угловой коэффициент, численно равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси О_х , а свободный член b - ордината точки пересечения графика и О_у.

-отрезок, отсекаемый графиком на оси оу

б) уравнение пучка прямых, проходящих через точку (х₀ ,у₀) у-у₀ = k(х-х₀ )

в) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (х₁у₁) и (х₂у₂)

Разберем все эти уравнения, используя вектора.

Общее уравнение прямой на плоскости

Рассмотрим на плоскости О_ху произвольную прямую L. Пусть дана некоторая ее точка М₁(х₁у₁) и вектор N=Ai+Bj, перпендикулярный рассматриваемой прямой. Этот вектор называется нормальным вектором прямой. Точка М₁ и нормальный вектор N вполне определяют положение прямой L на плоскости О_ху.

 Пусть М(х,у) - любая точка прямой L (она называется текущей точкой). По условию, вектор N перпендикулярен вектору , лежащему на этой прямой. Поэтому скалярное произведение (N, )=0 , или в координатной форме А(х – х₁) + В(у – у₁) = 0

Произведем преобразования – раскроем скобки:

АX + ВY + [-АX₁ – ВY₁ ] = 0

В квадратных скобках у нас некое число. так как А и В числовые коэффициенты, а х₁ и у₁ - координаты точки и, если это число обозначим С, то получится общее уравнение прямой на плоскости.

АX + ВY + С = 0

Каноническое уравнение

Далее, положение прямой L на плоскости вполне определяется заданием какой-либо ее точки М(х₁,у₁) и вектора S=mi+nj , параллельного L или лежащего на ней. Этот вектор называется направляющим вектором прямой L.

Пусть М(х,у) - произвольная точка прямой L. Так как векторы

коллинеарны (по условию), то их координаты пропорциональны.

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой.