Скалярное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой

То есть, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Пример 2

Найти скалярное произведение векторов:
а) и , если даны точки

Решение:

Надеюсь, эта простейшая задача у вас уже отработана.

По формуле вычислим скалярное произведение:

К слову: скалярное произведение положительно, значит, угол между пространственными векторами является острым.

Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения

Вернёмся к важному случаю, когда векторы являются ортогональными. Напоминаю: векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда . В координатах данный факт запишется следующим образом:

Пример 3

а) Проверить ортогональность векторов: и
Решение:
а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение:
, следовательно,

Обратите внимание на два существенных момента:

– В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.

Ответ: а) ,

Пример 4

При каком значении векторы будут ортогональны?

Решение: По условию требуется найти такое значение параметра , чтобы данные векторы были ортогональны. Два вектора пространства ортогональны тогда и только тогда, когда .

Дело за малым, составим уравнение:

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Решаем простейшее линейное уравнение:

Ответ: при

В рассмотренной задаче легко выполнить проверку, в исходные векторы подставляем полученное значение параметра :

И находим скалярное произведение:
– да, действительно, при векторы ортогональны, что и требовалось проверить.

ПРАКТИКУМ 5

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Линейные операции над векторами
Даны векторы и .
Тогда сумма координат вектора равна …

Решение:
Напоминаем, что каждая координата произведения вектора на число
равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Значит, имеем .
Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Тогда вектор Сумма координат полученного вектора равна

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Линейные операции над векторами
Даны векторы и . Тогда сумма координат вектора равна …

Решение:
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Значит, имеем . Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Тогда вектор Сумма координат полученного вектора равна

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Линейные операции над векторами
Даны векторы и . Тогда сумма координат вектора равна …

Решение:
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Значит, имеем . Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Тогда вектор Сумма координат полученного вектора равна

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: и
Если , то k равно …

Решение:
Если то угол между векторами равен 90^○, значит, по определению Напоминаем, что скалярное произведение векторов, заданных своими координатами и , выражается формулой: Найдем тогда откуда

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: и
Если , то k равно …

Решение:
Если то угол между векторами равен 90^○, значит, по определению Напоминаем, что скалярное произведение векторов, заданных своими координатами и , выражается формулой: Найдем тогда откуда

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: и
Если , то k равно …

Решение:
Если то угол между векторами равен 90^○, значит, по определению Напоминаем, что скалярное произведение векторов, заданных своими координатами и , выражается формулой: Найдем тогда откуда

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 5

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Линейные операции над векторами
Даны векторы и .
Тогда сумма координат вектора равна …

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Линейные операции над векторами
Даны векторы и . Тогда сумма координат вектора равна …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Линейные операции над векторами
Даны векторы и . Тогда сумма координат вектора равна …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Линейные операции над векторами
Даны векторы и . Тогда сумма координат

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: и
Если , то k равно …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: и
Если , то k равно …

 ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: и
Если , то k равно …

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: и
Если , то k равно …