Интерполяционный тригонометрический полином

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Задаем таблицу значений функции

Считаем число значений таблицы и задаем мнимую единицу

Устанавливаем счетчики

Считаем значение спектра

Вводим функцию интерполяционного тригонометрического полинома в случае четного числа узлов

Устанавливаем счетчики

Строим функцию интерполяционного тригонометрического полинома

Варианты заданий к практической работе №3

По заданной таблице значений функции найти как функцию от на основе:

а) интерполяционного полинома Лагранжа и Ньютона;

б) интерполяционного кубического сплайна;

в) метода минимальных квадратов для линейной, квадратичной и кубической регрессии.

Вариант	Значения функции
1	x	1	3	4	6	7	8	10	12	15
1	y	3	4	6	2	8	4	5	8	0
2	x	1	2	5	6	7	9	11	12	16
2	y	2	6	3	2	4	5	5	9	3
3	x	1	2	3	5	7	8	11	14	15
3	y	–3	3	5	4	1	–5	6	3	2

Вариант	Значения функции
4	x	1	2	4	6	7	10	12	14	17
4	y	3	4	6	3	8	1	2	3	7
5	x	1	3	5	6	7	9	10	12	13
5	y	3	7	1	3	–2	5	–6	4	3
6	x	1	3	5	6	7	9	11	13	18
6	y	3	5	9	2	–1	–4	3	4	8
7	x	1	3	5	6	7	9	12	14	17
7	y	4	8	2	0	7	8	–1	2	3
8	x	1	3	4	6	7	8	11	15	18
8	y	3	5	8	3	7	1	9	3	2
9	x	1	2	3	6	7	9	10	13	15
9	y	4	8	2	7	–1	2	4	8	3
10	x	1	3	5	6	7	8	10	12	17
10	y	3	5	–1	7	3	6	9	0	4

г) интерполяционного тригонометрического полинома

Вариант	y(0)	y(1)	y(2)	y(3)	y(4)	y(5)	y(6)	y(7)
1	4	6	8	3	–4	3	2	–
2	3	4	4	7	–4	3	–3	3
3	4	3	9	4	1	3	6	–
4	6	1	5	8	7	2	3	4
5	7	9	7	6	3	–4	–5	–
6	3	–4	2	3	5	–4	2	3
7	2	4	–5	–2	4	3	6	–
8	9	5	0	9	3	6	5	–5
9	6	8	0	5	3	5	7	–
10	4	5	6	3	6	8	7	4

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1) титульный лист;

2) постановку задачи (согласно варианту);

3) краткое описание методов решения задачи Коши;

4) программную реализацию данных методов;

5) выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие виды приближения функции вы знаете?

2. Какие виды интерполяции функции вы знаете?

3. Приведите пример построения интерполяционного полинома при помощи метода Лагранжа.

4. Приведите пример построения интерполяционного полинома при помощи метода Ньютона.

5. Какой метод построения интерполяционного полинома является менее трудоемким: метод Лагранжа или метод Ньютона?

6. По заданной выборке найти оптимальную прямую методом наименьших квадратов.

7. По заданной выборке найти оптимальную параболу методом наименьших квадратов.

8. Приведите пример построения интерполяционного кубического сплайна.

9. Приведите пример построения интерполяционного тригонометрического полинома.

10. Как изменится трудоемкость дискретного преобразования Фурье в случае использования алгоритма быстрого преобразования Фурье?

Практическое задание №4. Компьютерное моделирование в экологии

Рассматриваются модели классической экологии (взаимодействие популяций). Популяция – совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию.

Взаимодействие особей внутри популяции определяется внутривидовой конкуренцией, взаимодействие между популяциями – межвидовой конкуренцией.

4.1. Внутривидовая конкуренция в популяции с дискретным размножением. Для популяций с дискретным размножением (некоторые виды растений, насекомых и т.д.) поколения четко разнесены во времени и особи разных поколений не сосуществуют. Численность такой популяции можно характеризовать числом и считать величиной дискретной – номером популяции.

Одна из моделей межвидовой конкуренции в этом случае выражается уравнением

(4.1)

Здесь – скорость воспроизводства популяции в отсутствии внутривидовой конкуренции (математически это соответствует случаю ). Тогда уравнение определяет просто изменение численности популяции по закону геометрической прогрессии: где – начальная численность популяции.

Знаменатель в уравнении отражает наличие конкуренции, делающей скорость роста тем меньше, чем больше численность популяции и – параметры модели.

Исходные параметры модели:

• – скорость воспроизводства;

• – начальная численность популяции;

• – параметр, характеризующий интенсивность внутривидовой конкуренции.

Характерная черта эволюции при – выход численности популяции на стационарное значение при любых значениях других параметров. Однако, в природе так бывает не всегда и более общая модель при отражает другие, более сложные, но реально существующие, виды эволюции. Этих видов модель описывает четыре:

1) монотонное установление стационарной численности популяции;

2) колебательное установление стационарной численности популяции;

3) устойчивые предельные циклы изменения численности популяции;

4) случайные изменения численности популяции без наличия явных закономерностей (динамический хаос).

4.2. Внутривидовая конкуренция в популяции с непрерывным размножением. Математическая модель в данном случае строится на основе дифференциальных уравнений. Наиболее известна так называемая логистическая модель:

. (4.2)

Исходные параметры модели:

• – скорость роста численности популяции при отсутствии конкуренции;

• – предельное значение численности популяции, при котором скорость роста становится равной нулю;

• – начальная численность популяции.

4.2.1 Межвидовая конкуренция. В этом случае исследуется конкуренция популяций, потребляющих общий ресурс. Пусть и – численности конкурирующих популяций. Модель (называемая также моделью Лотки – Вольтерра) выражается уравнениями:

(4.3)

Содержательный смысл параметров можно понять из сравнения с предыдущей моделью. Дополнительные параметры и отражают интенсивность межвидовой конкуренции.

Главный вопрос, который интересует исследователя межвидовой конкуренции – при каких условиях увеличивается или уменьшается численность каждого вида? Данная модель предсказывает следующие режимы эволюции взаимодействующих популяций: устойчивое сосуществование или полное вытеснение одной из них.

4.2.2 Система «хищник – жертва». В этой системе ситуация значительно отличается от предыдущей. В частности, если в случае конкурирующих популяций исчезновение одной означает выигрыш для другой (дополнительные ресурсы), то исчезновение «жертвы» влечет за собой и исчезновение «хищника», для которого в простейшей модели «жертва» является единственным кормом.

Обозначим через численность популяции хищника и через – популяции жертвы. Одна из известных моделей выражается следующими уравнениями:

(4.4)

В первое уравнение заложен следующий смысл. При отсутствии хищников (т.е. при ) численность жертв растет экспоненциально со скоростью r, поскольку модель не учитывает внутривидовой конкуренции. Скорость роста числа жертв (т.е. )

уменьшается тем больше, чем чаще происходят встречи представителей видов; – коэффициент эффективности поиска.

Второе уравнение говорит о следующем. При отсутствии жертв численность хищников экспоненциально убывает со скоростью ;положительное слагаемое в правой части уравнения компенсирует эту убыль; – коэффициент эффективности перехода пищи в потомство хищников.

Задание 4.1

Вариант 1.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (4.1), при значениях параметров , , в зависимости от значения параметра а в диапазоне . Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения ?

Вариант 2.

Вариант 3.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (4.1), при значениях параметров , , в зависимости от значения параметра в диапазоне . Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения ?

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Реализовать модель (4.1) при следующих наборах значений параметров:

1) , , , ;

2) , , , ;

3) , , , ;

4) , , ,

и изучить вид соответствующих режимов эволюции.

Вариант 9.

Для модели (4.1) в фазовой плоскости найти границы зон, разделяющих режим колебательного установления стационарной численности популяции изучаемой системы и режим устойчивых предельных циклов.

Вариант 10.

Задание 4.2

Вариант 1.

Реализовать моделирование межвидовой конкуренции по формулам (4.3) при значениях параметров , , , , , . Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений коэффициентов конкуренции и .

Вариант 2.

Построить в фазовой плоскости границы зон, разделяющих какие-либо два режима эволюции конкурирующих популяций (в соответствии с моделью (4.3)). Остальные параметры модели выбрать произвольно. Учесть при этом, что режим устойчивого сосуществования популяций может в принципе реализоваться только при .

Вариант 3.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник – жертва» (модель (4.4)) при значениях параметров , , , . Проанализировать зависимость исхода эволюции от соотношения значений параметров и .

Вариант 4.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник – жертва» (модель (4.4)) при значениях параметров , , , , . Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра в диапазоне .

Вариант 5.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник—жертва» (модель (4.4)) при значениях параметров , , , , . Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра в диапазоне .

Вариант 6.

Вариант 7.

Модель (4.4) предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра . Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.

Вариант 8.

Модель (4.4) предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра .Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.

Вариант 9.

Модель (4.4) предсказывает сопряженные колебания численности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра .Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.

Вариант 10.

Практическое задание №5. Компьютерное моделирование трудноформализуемых объектов (финансовые, экономические, социальные процессы)

Выберите модель финансового, экономического или социального процессов (вар. 1-7 финансовый, вар. 8-15 экономический, вар. 16-22 социальный процессы). Проведите ее полное исследование и численную реализацию. Проанализируйте результаты моделирования. Подготовьте отчет.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

1. При проведении расчетов необходим контроль точности результатов и устойчивости применяемого численного метода. Для этого достаточно ограничиться эмпирическими приемами (например, сопоставлением решений, полученных с несколькими разными шагами по времени).

2. Целесообразно применять для моделирования стандартные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, описанные в математической литературе. Простейшие методы (метод Эйлера) часто бывают неустойчивы и их применение ведет к лишнему расходу времени.

3. Результаты моделирования следует выводить на экран компьютера в следующих видах: таблицы зависимостей численности популяций от времени, графики этих зависимостей. Уместны звуковые сигналы (одни – в критические моменты для моделируемого процесса, другие – через некоторый фиксированный отрезок пройденного пути и т.д.).

4. При выводе результатов в табличном виде следует учитывать, что соответствующий шаг по времени не имеет практически ничего общего с шагом интегрирования и определяется удобством и достаточной полнотой для восприятия результатов на экране. Экран, сплошь забитый числами, не поддается восприятию. Выводимые числа следует разумным образом форматировать, чтобы незначащие цифры практически отсутствовали.

5. При выводе результатов в графической форме графики должны быть построены так, как это принято в математической литературе (с указанием того, какие величины отложены по осям, масштабами и т.д.).

6. Поскольку таблицы и графики на одном экране обычно не помещаются, удобно сделать меню, в котором пользователь выбирает желаемый в настоящий момент вид представления результатов.

Дата: 2019-05-29, просмотров: 226.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89