Пусть  – значения функции  в узлах интерполяции. Тогда разности

называются конечными разностями первого порядка или просто первыми разностями.

Разностями второго порядка или вторыми разностями называются разности первых разностей, т.е.

.

Аналогично определяются последующие разности. Например, разность -го порядка получается из разности -го порядка по формулам

.

Разности высших порядков выражаются через  следующими формулами:

Введем так называемые разделенные разности.

Разделенные разности первого порядка определяются формулой

.

Например,

, где ,

, где , и т.д.

Разделенные разности второго порядка определяются формулой

.

Разделенные разности -го порядка определяются формулой

.

В случае равностоящих узлов с шагом  для разделенных разностей имеем формулы:

;

.

Если  – полином степени , то для него первая разделенная разность  есть полином степени , вторая разделенная разность  – полином степени , так что разделенная разность -го порядка равна нулю.

Разделенные разности располагаются по схеме:

Рассмотрим первую разделенную разность для функции :

, откуда .

Далее имеем

,

и т.д. Отсюда получаем формулу

.

Или

,

где

.

(3.10)

Если положить в формуле (3.10) , , получим .

Следовательно, полином (3.10) является интерполяционным полиномом, построенным по  узлам . Он называется интерполяционным многочленом Ньютона.

В силу того, что любой -й член полинома Ньютона (3.10) зависит только от  первых узлов интерполяции и от значений функции в этих узлах, добавление новых узлов вызывает лишь добавление в формуле (3.10) новых членов без изменения первоначальных, в этом состоит существенное, с точки зрения организации вычислений, преимущество полинома Ньютона по сравнению с полиномом Лагранжа.

Формулу для полинома Ньютона (3.10) можно переписать в следующем виде:

В данном случае базис состоит из функций вида

.

В этом случае , . После вычисления коэффициентов  значения полинома Ньютона в точке  удобно вычислять по схеме Горнера:

.

Вычисление значений  полинома  (после вычисления ) требует  умножений и  сложений (или вычитаний), т.е. .

На практике избегают пользоваться интерполяционными многочленами высоких степеней. Объясняется это тем, что с ростом числа узлов сетки погрешность интерполирования  может не только не уменьшаться, но и в некоторых случаях постепенно расти с увеличением . В этом случае говорят, что интерполяционный процесс расходится. Например, последовательность многочленов Ньютона, построенных для непрерывной функции  на отрезке  не сходится к функции  ни в одной точке отрезка , кроме точек . Поэтому более предпочтительной является интерполяция сплайнами, к рассмотрению которой мы переходим.