Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное

 образовательное учреждение высшего образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра интеллектуальных и многопроцессорных систем

Т.В.Камышникова, А.В.Никитина, А.Е.Чистяков     Непрерывные математические модели Учебно-методическое пособие для проведения практических работ

 

 

Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2019

УДК 517.949.8 (076.5)+

        518.12 (076.5)

 

Никитина А.В., Кузнецова И.Ю.

 

Математические модели процессов и систем: учебно-методическое пособие. – Таганрог: Издательство ЮФУ, 2017. – 53 с.

 

Целью работы является обучение обучающихся работе с задачами, требующими большого объема вычислительной работы с использованием универсальных решающих программ типа MathCad.

Пособие предназначено для магистрантов всех специальностей, изучающих численные методы и современные проблемы прикладной математики и информатики.

Знаком * обозначены вопросы повышенной сложности.

Ил.:                                     Библиогр.: назв.

 

Практическая работа №1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

 

Прямые методы теоретически позволяют за конечное число операций (действий) найти «точное» решение системы. Однако, в условиях вычислений на компьютерах, имеющих конечную разрядную сетку, прямые методы позволяют найти реально лишь приближенное решение системы, ввиду наличия погрешностей округления. Примерами прямых методов, рассматриваемых ниже, являются метод Гаусса и его модификации.

 

Алгоритм LU-разложения

Данный алгоритм можно рассматривать как конкретную форму метода Гаусса. Алгоритм LU-разложения используется не только для решения СЛАУ, но и также для обращения матрицы, т.е. вычисления матрицы, обратной данной.

Пусть  и будем искать представление  в виде

,

(1.10)

где  и  – соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы вида

.

Известно, что если все угловые миноры матрицы  отличны от нуля, т.е.

то разложение вида (1.10) существует и единственно. Для того чтобы получить расчётные формулы, поступим следующим образом. Обозначим  произведение -ой строки матрицы  на -й столбец матрицы , причём будем считать вначале , что .

Тогда .

Выразим из последней формулы :

.

(1.11)

Как это принято, будем считать в формуле (1.11) и далее, что сумма вида  равна нулю, если значение верхней границы индекса суммирования меньше нижней границы.

В случае  имеем

Учитывая, что , и выражая из последнего соотношения , получаем:

.

(1.12)

Наконец, при  получаем

откуда, с учетом того, что , приходим к формуле

.

(1.13)

Итак, расчетные формулы (1.11) – (1.13) получены. Для того чтобы при их применении не использовались неизвестные (не вычисленные) величины, необходимо выбрать соответствующий порядок вычисления элементов матриц  и .

Например, можно рекомендовать порядок расчета элементов матриц  и , схематически изображенный на рис. 1.1. На нем цифры слева для матрицы  и сверху – для матрицы  означают, что на первом шаге рассчитывается  по формуле (1.12), затем вычисляется элемент  по формуле (1.11).

Далее (3 шаг) определяются элементы второй строки матрицы  в порядке, указанном стрелкой:  и  (по формулам (1.13) и (1.12) соответственно).

На 4 шаге выполняется расчет элементов 3 столбца матрицы  в порядке, обозначенном стрелкой:  (формулы (1.11)) и т.д.

Рис. 1.1. Порядок расчета элементов матриц  и

 

Рассмотрим теперь применение LU-разложения для решения СЛАУ вида

,

где

.

Введем вспомогательный вектор :

.

(1.14)

Тогда исходную систему можно записать так

.

(1.15)

В силу формул (1.14) и (1.15) решение исходной СЛАУ сводится к последовательному решению систем (1.15) и (1.14) соответственно с верхней и нижней треугольной матрицами.

 

Метод прогонки

Метод прогонки представляет собой вариант метода Гаусса, примененный к специальным системам линейных алгебраических уравнений и учитывающий ленточную структуру матрицы системы. Пусть имеем СЛАУ со специальной трехдиагональной формой матрицы:

(1.16)

или в матричной форме: , где  – вектор неизвестных;  – вектор правых частей;  – квадратная  матрица:

Системы вида (1.16) возникают при конечно-разностной аппроксимации краевых задач математической физики, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными и переменными коэффициентами, а также уравнениями в частных производных. Ставится задача разработать экономичные методы решения задач вида (1.16), число арифметических операций для которых пропорционально числу неизвестных. Таким методом для системы (1.16) является метод прогонки. Специфика матрицы  состоит в расположении ненулевых элементов, матрица  – разреженная матрица, из  элементов которой ненулевыми являются не более  элементов. Это позволяет получить для решения СЛАУ простые расчетные формулы.

Будем искать решение (1.16) в виде

(1.17)

с неопределенными коэффициентами . Выражение  подставим в (1.16):

,

c учетом (1.17) имеем

.

Это равенство имеет место для любых , если

,  .

Отсюда получаем рекуррентные формулы для определения :

;	(1.18)
.	(1.19)

Коэффициенты ,  называются прогоночными.

Если коэффициенты и  известны, а также известно , то, двигаясь справа налево (от  к ) последовательно определяем все . Задача нахождения  по формулам (1.18), (1.19) решается слева направо (от  к ). Начальные значения прогоночных коэффициентов  можно определить следующим образом. Полагаем в формуле (1.17) , имеем , а из первого уравнения (3.16) , откуда

.

(1.20)

Значение  определяется следующим образом. Полагаем в формуле (1.17) , имеем , а из последнего уравнения (3.18) –

,

откуда

.

(1.21)

Расчетные формулы (1.17) – (1.21) можно получить также из (1.16), если применить метод исключения Гаусса. Прямой ход метода заключается в том, что на первом шаге из всех уравнений системы (1.16) при помощи первого уравнения исключается , затем из преобразованных уравнений для  при помощи уравнения, соответствующего , исключается  и т.д. В результате получим одно уравнение относительно . На этом прямой ход метода прогонки заканчивается. На обратном ходе для  находятся .

Порядок счета в методе прогонки следующий:

1)  исходя из значений , вычисленных по формулам (1.20), все остальные коэффициенты  для  определяются последовательно по формулам (1.18) и (1.19);

2)  исходя из значения , рассчитанного по формуле (1.21), все остальные неизвестные ,  определяются последовательно по формуле (1.17).

Изложенный метод поэтому называется правой прогонкой.

Аналогично выводятся формулы левой прогонки:

	(1.22)
	(1.23)
yi+1 = xi+1yi + hi+1, i = N-1, N-2, …, 0; y0 = h0.	(1.24)

Здесь  находятся последовательно для значений ; ход вычислений – слева направо.

В случае, если необходимо найти только одно неизвестное, например,  или группу идущих подряд неизвестных, целесообразно комбинировать правую и левую прогонки. При этом получается метод встречных прогонок.

Произведем подсчет числа арифметических действий для метода правой прогонки. Анализ формул (1.17) – (1.21) показывает, что общее число арифметических операций есть . Коэффициенты  не зависят от правой части СЛАУ (1.16) и определяются только элементами  матрицы . Поэтому, если требуется решить серию задач (1.16) с различными правыми частями, то прогоночные коэффициенты  вычисляются только для первой серии. Для каждой последующей серии задач определяются только коэффициенты  и решение , причем используются ранее найденные .

На решение первой из серии задач расходуется  операций, а на решение каждой следующей задачи –  операций. Число арифметических операций, необходимое для решения СЛАУ (1.16) методом левой прогонки и методом встречных прогонок, такое же, т.е. . Метод правой прогонки будем называть корректным, если  при .

Решение  находится по рекуррентной формуле (1.17). Эта формула может порождать накопление ошибок округления результатов арифметических операций. Пусть прогоночные коэффициенты  и  найдены точно, а при вычислении  допущена ошибка , т.е. . При вычислениях с помощью формулы (1.17) мы получаем

.

(1.25)

Вычитая из (1.25) значение y_i по формуле (1.17), имеем для погрешности  с заданным . Отсюда ясно, что если  по модулю больше единицы и если  достаточно велико, то вычисленное значение  будет значительно отличаться от искомого решения . В этом случае говорят, что алгоритм прогонки неустойчив.

Определение. Алгоритм прогонки называется устойчивым, если .

Условия корректности и устойчивости алгоритма правой прогонки определяются следующей теоремой.

Теорема. Пусть коэффициенты системы (1.16) действительны и удовлетворяют условиям:

, , , , , , ;

, ;	(1.26)
, ,	(1.27)

причем хотя бы в одном из неравенств (1.26) и (1.27) выполняется строгое неравенство, т.е. матрица А имеет диагональное преобладание. Тогда для алгоритма (1.17) – (1.21) имеют место неравенства: , , т.е. алгоритм метода правой прогонки корректен и устойчив.

Условия (1.26) и (1.27) теоремы обеспечивают также корректность и устойчивость алгоритмов левой и встречных прогонок. Эти условия сохраняются и для случая системы (1.16) с комплексными коэффициентами .

Легко показать, что при выполнении условий (1.26) – (1.27) теоремы система (1.16) имеет единственное решение при любой правой части.

 

Пример выполнения практической работы №1

Решите систему уравнений методом Гаусса и методом LU-разложения

 

Решите систему уравнений методом прогонки

Варианты заданий к практической работе №1

 

Задание 1

Решите системы уравнений методом Гаусса и методом - разложения.

1)             2)

3)               4)

5)               6)

7)             8)

9)             10)

 

Задание 2

Решите системы уравнений методом прогонки.

1)         2)

3)          4)

5)         6)

7)             8)

9)          10)

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1) титульный лист;

2) постановку задачи (согласно варианту);

3) краткое описание прямых методов расчета СЛАУ;

4) программную реализацию данных методов;

5) выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие методы решения СЛАУ вы знаете?

2. Каково условие применимости метода Гаусса для решения СЛАУ?

3. Каково условие применимости метода LU-разложения?

4. Какой из алгоритмов: прямой или обратный ход метода Гаусса наиболее трудоемкий с точки зрения количества арифметических операций?

5. Получить оценки числа арифметических операций для решения СЛАУ методом Гаусса.

6. Получить оценки числа арифметических операций для решения СЛАУ методом LU-разложения.

7. Условие применимости метода прогонки.

8. Получить оценки числа арифметических операций для метода прогонки.

9*. В каком случае метод LU-разложения требует меньшего количества арифметических операций для решения СЛАУ, чем метод Гаусса?

10*. Как изменяется условие применимости метода Гаусса для решения СЛАУ, если не используется алгоритм выбора главного элемента?

Метод минимальных невязок

(2.13)

Для  получим равенство, умножив обе части равенства (2.13) на матрицу :

.

Меняя знаки и группируя слагаемые соответствующим образом, получаем:

 или

Параметр  будем выбирать из условия минимума невязки  по норме

.

Продифференцируем  по , получим

,

.

(2.14)

Метод скорейшего спуска

Получается из условия минимума энергетической нормы погрешности где ,  – точное решение исходной системы. Поскольку , и учитывая, что

, получим

Дифференцируя  по , получим

, откуда

(2.15)

 

Пример выполнения практической работы №2

Решите систему уравнений методом Якоби, Зейделя, наименьших невязок и методом скорейшего спуска

Варианты заданий к практической работе №2

 

Решите системы уравнений итерационными методами

1)             2)

3)                 4)

5)               6)

7)               8)

9)             10)

 

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1) титульный лист;

2) постановку задачи (согласно варианту);

3) краткое описание итерационных методов расчета СЛАУ;

4) программную реализацию данных методов;

5) выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие методы решения СЛАУ вы знаете?

2. Запишите каноническую форму одношаговых (двухслойных) итерационных схем.

3. От чего зависит скорость сходимости итерационных методов?

4. Какие преимущества у вариационно-итерационных методов?

5. Каким образом определяется окончание итераций?

6. Запишите метод Якоби в векторной форме.

7. Запишите метод Зейделя в векторной форме.

8. Запишите формулу расчета итерационного параметра согласно методу скорейшего спуска.

9*. Условие применимости метода минимальных невязок.

10*. Условие применимости метода скорейшего спуска.

 

Свойства

1) линейность ;

2) сдвиг по времени ;

3) периодичность ;

4) выполняется теорема Парсеваля;

5) симметрия .

Таким образом, информацию несут первые  гармоник.

6) обладает спектральной плотностью ;

7) .

В случае четного числа , из свойств 5,7 следует

Переходим от дискретных значений  к непрерывному аргументу , таким образом, чтобы выполнялось равенство , при , где  – шаг дискретизации. Формула в случае четного числа узлов для интерполяционного тригонометрического полинома запишется

Аналогичным образом можно получить формулу для интерполяционного тригонометрического полинома в случае нечетного числа узлов, которая запишется следующим образом:

.

 

Пример выполнения практической работы №3

По заданной таблице  значений функции найти  как функцию от  на основе:

а) интерполяционного полинома Лагранжа и Ньютона;

б) интерполяционного кубического сплайна;

в) метода минимальных квадратов для линейной, квадратичной и кубической регрессии.

 

X	1	3	4	5	6	7	9	11
Y	–1	2	3	9	4	7	2	7

 

г) интерполяционного тригонометрического полинома

X	0	1	2	3	4	5	6	7
Y	2	–4	3	9	–2	1	7	5

 

Метод наименьших квадратов

Задаем таблицу значений функции

Устанавливаем счетчики

.

Считаем значения

.

Задаем СЛАУ согласно методу минимальных квадратов в случае линейной регрессии

                           

Решаем СЛАУ

.

Строим линейную регрессионную функцию

.

Устанавливаем счетчики

.

Строим график линейной регрессионной функции

Считаем квадрат невязки

.

Считаем квадрат невязки

.

Задаем СЛАУ согласно методу минимальных квадратов в случае квадратичной регрессии

;   .

Решаем СЛАУ

.

Строим квадратичную регрессионную функцию

.

Строим график квадратичной регрессионной функции

Считаем квадрат невязки

.

Считаем квадрат невязки

.

Задаем СЛАУ согласно методу минимальных квадратов в случае кубической регрессии

; .

Решаем СЛАУ

.

Строим кубическую регрессионную функцию

.

Строим график кубической регрессионной функции

Считаем квадрат невязки

.

Считаем квадрат невязки

.

Варианты заданий к практической работе №3

По заданной таблице  значений функции найти  как функцию от  на основе:

а) интерполяционного полинома Лагранжа и Ньютона;

б) интерполяционного кубического сплайна;

в) метода минимальных квадратов для линейной, квадратичной и кубической регрессии.

Вариант	Значения функции
1	x	1	3	4	6	7	8	10	12	15
	y	3	4	6	2	8	4	5	8	0
2	x	1	2	5	6	7	9	11	12	16
	y	2	6	3	2	4	5	5	9	3
3	x	1	2	3	5	7	8	11	14	15
	y	–3	3	5	4	1	–5	6	3	2

 

Вариант	Значения функции
4	x	1	2	4	6	7	10	12	14	17
	y	3	4	6	3	8	1	2	3	7
5	x	1	3	5	6	7	9	10	12	13
	y	3	7	1	3	–2	5	–6	4	3
6	x	1	3	5	6	7	9	11	13	18
	y	3	5	9	2	–1	–4	3	4	8
7	x	1	3	5	6	7	9	12	14	17
	y	4	8	2	0	7	8	–1	2	3
8	x	1	3	4	6	7	8	11	15	18
	y	3	5	8	3	7	1	9	3	2
9	x	1	2	3	6	7	9	10	13	15
	y	4	8	2	7	–1	2	4	8	3
10	x	1	3	5	6	7	8	10	12	17
	y	3	5	–1	7	3	6	9	0	4

г) интерполяционного тригонометрического полинома

Вариант	y(0)	y(1)	y(2)	y(3)	y(4)	y(5)	y(6)	y(7)
1	4	6	8	3	–4	3	2	–
2	3	4	4	7	–4	3	–3	3
3	4	3	9	4	1	3	6	–
4	6	1	5	8	7	2	3	4
5	7	9	7	6	3	–4	–5	–
6	3	–4	2	3	5	–4	2	3
7	2	4	–5	–2	4	3	6	–
8	9	5	0	9	3	6	5	–5
9	6	8	0	5	3	5	7	–
10	4	5	6	3	6	8	7	4

 

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1) титульный лист;

2) постановку задачи (согласно варианту);

3) краткое описание методов решения задачи Коши;

4) программную реализацию данных методов;

5) выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие виды приближения функции вы знаете?

2. Какие виды интерполяции функции вы знаете?

3. Приведите пример построения интерполяционного полинома при помощи метода Лагранжа.

4. Приведите пример построения интерполяционного полинома при помощи метода Ньютона.

5. Какой метод построения интерполяционного полинома является менее трудоемким: метод Лагранжа или метод Ньютона?

6. По заданной выборке найти оптимальную прямую методом наименьших квадратов.

7. По заданной выборке найти оптимальную параболу методом наименьших квадратов.

8. Приведите пример построения интерполяционного кубического сплайна.

9. Приведите пример построения интерполяционного тригонометрического полинома.

10.  Как изменится трудоемкость дискретного преобразования Фурье в случае использования алгоритма быстрого преобразования Фурье?

 

Практическое задание №4. Компьютерное моделирование в экологии

Рассматриваются модели классической экологии (взаимо­действие популяций). Популяция – совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию.

Взаимодействие особей внутри популяции определяется внутривидовой конкуренцией, взаимодействие между популяциями – межвидовой конкуренцией.

4.1. Внутривидовая конкуренция в популяции с дискретным размножением. Для популяций с дискретным размножением (некоторые виды растений, насекомых и т.д.) поколения четко разне­сены во времени и особи разных поколений не сосуществуют. Численность такой популяции можно характеризовать числом  и считать  величиной дискретной – номером популяции.

Одна из моделей межвидовой конкуренции в этом случае выражается уравнением

                                  

                                     (4.1)

Здесь  – скорость воспроизводства популяции в отсутствии внутривидовой конкуренции (математически это соответствует случаю ). Тогда уравнение определяет просто изменение численности популяции по закону геометрической прогрессии:  где  – начальная численность популяции.

Знаменатель в уравнении отражает наличие конкуренции, делающей скорость роста тем меньше, чем больше численность популяции и  – параметры модели.

Исходные параметры модели:

• – скорость воспроизводства;

• – начальная численность популяции;

•  – параметр, характеризующий интенсивность внутри­видовой конкуренции.

Характерная черта эволюции при – выход численности популяции на стационарное значение при любых значениях других параметров. Однако, в природе так бывает не всегда и более общая модель при  отражает другие, более сложные, но реально существующие, виды эволюции. Этих видов модель описывает четыре:

1) монотонное установление стационарной численности по­пуляции;

2) колебательное установление стационарной численности популяции;

3) устойчивые предельные циклы изменения численности популяции;

4) случайные изменения численности популяции без нали­чия явных закономерностей (динамический хаос).

4.2. Внутривидовая конкуренция в популяции с непрерывным раз­множением. Математическая модель в данном случае строится на основе дифференциальных уравнений. Наиболее известна так называемая логистическая модель:

.                                                 (4.2)

Исходные параметры модели:

• – скорость роста численности популяции при отсут­ствии конкуренции;

•  – предельное значение численности популяции, при котором скорость роста становится равной нулю;

•  – начальная численность популяции.

4.2.1 Межвидовая конкуренция. В этом случае исследуется конкурен­ция популяций, потребляющих общий ресурс. Пусть и – численности конкурирующих популяций. Модель (называемая также моделью Лотки – Вольтерра) выражается уравнениями:           

                                   (4.3)

Содержательный смысл параметров можно понять из срав­нения с предыдущей моделью. Дополнительные параметры  и  отражают интенсивность межвидовой конкуренции.

Главный вопрос, который интересует исследователя межви­довой конкуренции – при каких условиях увеличивается или уменьшается численность каждого вида? Данная модель пред­сказывает следующие режимы эволюции взаимодействующих популяций: устойчивое сосуществование или полное вытесне­ние одной из них.

4.2.2 Система «хищник – жертва». В этой системе ситуация значи­тельно отличается от предыдущей. В частности, если в случае конкурирующих популяций исчезновение одной означает выигрыш для другой (дополнительные ресурсы), то исчезновение «жертвы» влечет за собой и исчезновение «хищника», для ко­торого в простейшей модели «жертва» является единственным кормом.

Обозначим через  численность популяции хищника и через  – популяции жертвы. Одна из известных моделей выражает­ся следующими уравнениями:

                                  

                                  (4.4)

В первое уравнение заложен следующий смысл. При отсут­ствии хищников (т.е. при ) численность жертв растет экспо­ненциально со скоростью r, поскольку модель не учитывает вну­тривидовой конкуренции. Скорость роста числа жертв (т.е. )

уменьшается тем больше, чем чаще происходят встречи предста­вителей видов;  – коэффициент эффективности поиска.

Второе уравнение говорит о следующем. При отсутствии жертв численность хищников экспоненциально убывает со скоростью ;положительное слагаемое в правой части уравне­ния компенсирует эту убыль; – коэффициент эффективности перехода пищи в потомство хищников.

 

Задание 4.1

Вариант 1.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый мо­делью (4.1), при значениях параметров , ,  в зависимости от значения параметра а в диапазоне . Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения ?

Вариант 2.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый мо­делью (4.1), при значениях параметров , ,  в зависимости от значения параметра а в диапазоне . Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения ?

Вариант 3.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый мо­делью (4.1), при значениях параметров , ,  в зависимости от значения параметра  в диапазоне . Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения ?

Вариант 4.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый мо­делью (4.1), при значениях параметров , ,  в зависимости от значения параметра  в диапазоне . Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения ?

Вариант 5.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (4.1), при значениях параметров , ,  в зависимости от значения параметра  в диапазоне . Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения ?

Вариант 6.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (4.1), при значениях параметров , ,  в зависимости от значения параметра  в диапазоне . Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения ?

Вариант 7.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый мо­делью (4.1), при значениях параметров , ,  в зависимости от значения параметра  в диапазоне . Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения ?

Вариант 8.

Реализовать модель (4.1) при следующих наборах значений параметров:

1) , , , ;

2) , , , ;

3) , , , ;

4) , , ,

и изучить вид соответствующих режимов эволюции.

Вариант 9.

Для модели (4.1) в фазовой плоскости  найти границы зон, разделяющих режим колебательного установления стационарной численности популяции изучаемой системы и режим устойчивых предельных циклов.

Вариант 10.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый мо­делью (4.1), при значениях параметров , ,  в зависимости от значения параметра а в диапазоне . Есть ли качественные различия в характере эволюции в зависимости от значения ?

Задание 4.2

Вариант 1.

Реализовать моделирование межвидовой конкуренции по формулам (4.3) при значениях параметров , , , , , . Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений коэффициентов конкуренции  и .

Вариант 2.

Построить в фазовой плоскости границы зон, разделяющих какие-либо два режима эволюции конкурирующих популяций (в соответствии с моделью (4.3)). Остальные параметры модели выбрать произвольно. Учесть при этом, что режим устойчивого сосуществования популяций может в принципе реализоваться только при .

Вариант 3.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник – жертва» (модель (4.4)) при значениях параметров , , , . Проанализировать за­висимость исхода эволюции от соотношения значений параметров и .

Вариант 4.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник – жертва» (модель (4.4)) при значениях пара­метров , , , , . Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра  в диапазоне .

Вариант 5.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник—жертва» (модель (4.4)) при значениях пара­метров , , , , . Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра  в диапазоне .

Вариант 6.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник – жертва» (модель (4.4)) при значениях пара­метров , , , , . Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра qв диапазоне .

Вариант 7.

Модель (4.4) предсказывает сопряженные колебания числен­ности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра . Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.

Вариант 8.

Модель (4.4) предсказывает сопряженные колебания числен­ности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра .Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.

Вариант 9.

Модель (4.4) предсказывает сопряженные колебания числен­ности жертв и хищников. Исследовать зависимость запаздывания амплитуд колебаний численности хищников от амплитуд колебаний численности жертв в зависимости от значений параметра .Значения остальных параметров фиксировать по усмотрению.

Вариант 10.

Реализовать моделирование межвидовой конкуренции по формулам (4.3) при значениях параметров , , , , , . Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений их начальной чис­ленности , .

Практическое задание №5. Компьютерное моделирование трудноформализуемых объектов (финансовые, экономические, социальные процессы)

Выберите модель финансового, экономического или социального процессов (вар. 1-7 финансовый, вар. 8-15 экономический, вар. 16-22 социальный процессы). Проведите ее полное исследование и численную реализацию. Проанализируйте результаты моделирования. Подготовьте отчет.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

1. При проведении расчетов необходим контроль точности результатов и устойчивости применяемого численного метода. Для этого достаточно ограничиться эмпирическими приемами (например, сопоставлением решений, полученных с несколькими разными шагами по времени).

2. Целесообразно применять для моделирования стандартные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, описанные в математической литературе. Простейшие методы (метод Эйлера) часто бывают неустойчивы и их применение ведет к лишнему расходу времени.

3. Результаты моделирования следует выводить на экран компьютера в следующих видах: таблицы зависимостей чис­ленности популяций от времени, графики этих зависимостей. Уместны звуковые сигналы (одни – в критические моменты для моделируемого процесса, другие – через некоторый фик­сированный отрезок пройденного пути и т.д.).

4. При выводе результатов в табличном виде следует учитывать, что соответствующий шаг по времени не имеет практически ничего общего с шагом интегрирования и определяется удобством и достаточной полнотой для восприятия результатов на экране. Экран, сплошь забитый числами, не поддается восприятию. Выводимые числа следует разумным образом форматировать, чтобы незначащие цифры практически отсутствовали.

5. При выводе результатов в графической форме графики должны быть построены так, как это принято в математической литературе (с указанием того, какие величины отложены по осям, масштабами и т.д.).

6. Поскольку таблицы и графики на одном экране обычно не помещаются, удобно сделать меню, в котором пользователь выбирает желаемый в настоящий момент вид представления результатов.

 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное

 образовательное учреждение высшего образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра интеллектуальных и многопроцессорных систем

Т.В.Камышникова, А.В.Никитина, А.Е.Чистяков     Непрерывные математические модели Учебно-методическое пособие для проведения практических работ

 

 

Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2019

УДК 517.949.8 (076.5)+

        518.12 (076.5)

 

Никитина А.В., Кузнецова И.Ю.

 

Математические модели процессов и систем: учебно-методическое пособие. – Таганрог: Издательство ЮФУ, 2017. – 53 с.

 

Целью работы является обучение обучающихся работе с задачами, требующими большого объема вычислительной работы с использованием универсальных решающих программ типа MathCad.

Пособие предназначено для магистрантов всех специальностей, изучающих численные методы и современные проблемы прикладной математики и информатики.

Знаком * обозначены вопросы повышенной сложности.

Ил.:                                     Библиогр.: назв.

 

Практическая работа №1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

 

Прямые методы теоретически позволяют за конечное число операций (действий) найти «точное» решение системы. Однако, в условиях вычислений на компьютерах, имеющих конечную разрядную сетку, прямые методы позволяют найти реально лишь приближенное решение системы, ввиду наличия погрешностей округления. Примерами прямых методов, рассматриваемых ниже, являются метод Гаусса и его модификации.