Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот.

1. Находим выборочную среднюю, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. В качестве вариант принимают среднее арифметическое концов интервала.

2. Нормируют случайную величину , то есть переходят к величине  и находят значения .

3. Находят значение функции Лапласа .

4.Вычисляют значение  и умножают на .

5. Получаем теоретические частоты .

6. Сравниваем эмпирические и теоретические частоты. Для этого:

а) находим наблюдаемое значение критерия Пирсона:

.

Эта величина случайная, так как в различных опытах она принимает различные заранее не известные значения. Чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина , то есть он характеризует близость эмпирического и теоретического распределения.

б) по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы , где - число групп выборки; - это число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки. найдем критическую точку .

Если  - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если  - нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. В частности, если предполагаемое распределение – нормальное , то оценивают два параметра, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, поэтому  и число степеней свободы .

Пример: Дано следующее статистическое распределение выборки

	156	160	164	168	172	176	180
	10	14	26	28	12	8	2

Найти теоретические частоты данного распределения и проверить гипотезу о нормальном законе этого распределения при уровне значимости  с помощью критерия согласия  Пирсона.

Решение:

Подсчитаем выборочную среднюю и среднеквадратическое отклонение.

и .

Составим расчетную таблицу для вычисления теоретических частот пользуюсь указанной схемой. Для этого найдем величину .(h-длина интервала или шаг).

156	10	-10	-1,73	0,0893	6,18	6
160	14	-6	-1,04	0,2323	16,08	16
164	26	-2	-0,35	0,3752	25,96	26
168	28	2	0,35	0,3752	25,96	26
172	12	6	1,04	0,2323	16,08	16,1
176	8	10	1,73	0,0893	6,18	6,2
180	2	14	2	0,054	3,73	3,7
	100					100

Посчитаем величину

.

Воспользуемся расчетной таблицей

10	6	4	16	2,67
14	16	-2	4	0,25
26	26	0	0	0
28	26	2	4	0,15
12	16,1	-4,1	16,81	1,04
8	6,2	1,8	3,24	0,52
2	3,7	1,7	2,89	0,78
				5,41

Таким образом, .

Найдем . Так как  и , то .

Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения данной величины, то есть она принимается при уровне значимости  и есть основания считать, что эмпирические и теоретические частоты различаются не значимо, различия случайны.

Пример решения типовой задачи

Комитетом по физической культуре и спорту были проведены исследования спортсменов, занимающихся стрельбой. Было отобрано 200 стрелков из 4000 для определения среднего количества патронов, необходимых одному спортсмену для одной тренировки. Результаты обследования приведены в таблице

1. Перейти к вариационному ряду, и построить полигон частот.

2. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

3. Построить доверительный интервал для генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения с заданным уровнем доверительной вероятности γ=0,95.

4. Используя критерий  Пирсона при уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X– распределена по нормальному закону. Построить на одном графике гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение.

1. Перейдем от данного интервального ряда к вариационному. Для этого найдем середину каждого интервала (сложим концы каждого интервала и поделим пополам):

Построим полигон частот для полученного вариационного ряда.

2. Находим выборочную среднюю по формуле:

.

Объем выборки n=200.

Таким образом, среднее число патронов необходимых одному спортсмену для одной тренировки равно 438 шт.

Находим выборочную дисперсию:

= 16656

Посчитаем выборочную дисперсию вторым способом:

, где  и .

Среднеквадратическое отклонение:

Исправленную выборочную дисперсию посчитаем по формуле:

Исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины Х :

3. Построить доверительный интервал для генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения с заданным уровнем доверительной вероятности γ=0,95. Тем самым, найдем границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено среднее число патронов, необходимых для тренировки одного спортсмена.

Доверительный интервал для генеральной средней находим по формуле:

, где - математическое ожидание;

- выборочная средняя;

- объем выборки;

 - при большом объеме выборки;

t- значение аргумента функции Лапласа, при котором она равна , то есть , где - заданная надежность. Аргумент t находится по таблицам значений функции Лапласа (приложение 2).  По таблицам значений функции Лапласа находим: Ф(t)=0,95 .

;

Доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения  вычисляется по формуле

,

где  - это исправленное среднеквадратическое отклонение;

 - это табличное значение, которое зависит от объема выборки  и заданной надежности , то есть  (приложение 4).

Найдем значение q:

Тогда доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения  будет равен:

4. Используя критерий  Пирсона при уровне значимости a=0,05 проверим гипотезу о том, что случайная величина X– распределена по нормальному закону.

Примечание: В качестве дисперсии нормального закона распределения следует взять исправленную выборочную дисперсию. Но т.к. количество наблюдений – 200 достаточно велико, то подойдет и “обычная” .

xi	ni
150	4	-288	-2,23	0,0332	5,144974	5,1
250	20	-188	-1,46	0,1374	21,29275	21,3
350	57	-88	-0,68	0,3166	49,06321	49,1
450	65	12	0,09	0,3973	61,56922	61,6
550	31	112	0,87	0,2732	42,33755	42,3
650	15	212	1,64	0,1040	16,11678	16,1
750	8	312	2,42	0,0213	3,300841	3,3
	200					198,8

Составим расчетную таблицу для вычисления теоретических частот пользуюсь указанной схемой.

Для этого найдем величину

.(h-длина интервала или шаг).

Из первого пункта данной задачи известно, что .

Составим таблицу для подсчета

4	5,1	1,21	0,237255
20	21,3	1,69	0,079343
57	49,1	62,41	1,271079
65	61,6	11,56	0,187662
31	42,3	127,69	3,018676
15	16,1	1,21	0,075155
8	3,3	22,09	6,693939
200	198,8		11,56311

Итого, значение статистики .

Определим количество степеней свободы по формуле: .

m–число интервалов (m=7), r – число параметров закона распределения (в нормальном распределении r = 2)

Т.е. k = 7-2-1=4.

Соответствующее критическое значение статистики

Поскольку , гипотеза о нормальном распределении с параметрами N(438; 129,058) не согласуется с опытными данными.

Ниже показана кривая эмпирического (сплошная линия) и теоретического (пунктирная линия) распределений

Вывод. Сопоставив обе кривых видим, что наилучшее соответствие эмпирических данных нормальному распределению наблюдается на первом, втором, и шестом интервалах, что подтверждается таблицей. А вот на участке от 500 до 600 патронов отклонение очень большое – это видно из графика. Оно и оказало “фатальное” влияние на критерий согласия – это видно из таблицы.