Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А  в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность  того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна  - локальная функция Лапласа и .

Все значения функции  приведены в таблице (приложение 1). Локальная функция Лапласа является четной функцией т.е. = .

При х > 4 локальная функция Лапласа φ(х) =0.

Применяется теорема Лапласа при n больших 10. Чем больше n, тем точнее приближенная формула.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа: Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и равна р , а число n достаточно велико, то вероятность P_n ( m ₁ m m ₂ ) того, что событие А появится в n независимых испытаниях от m ₁ до m ₂ раз приближенно равна:

P_n(m₁ m m ₂) = Ф(х²) – Ф(х¢)

где Ф(х) =   интегральная функция Лапласа, и

;    .

При решении задач, требующих применение интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами (приложение 2).

Для значений х>5 полагают Ф(х)=0,5.

Для отрицательных значений х, пользуются этой же таблицей, учитывая, что интегральная функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-х)= -Ф(х).

Примеры.

1. Вероятность получения с конвейера изделий первого сорта равна  0,9. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий 530 будут первого сорта.

Решение:

n =600, m =530, р=0,9, q=1-0,9=0,1 Вычислим значение х:

Р₆₀₀(530)=

2. Вероятность того что деталь не прошла проверку равна 0,2. Найти вероятность того что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных больше 100 деталей.

Решение:

n=400, m₁=100, m₂=400 p=0,2, q=0,8.

х¢ =      х² =

Ф(х¢)= 0,4938, Ф(х²)=0,5 Р(100 £m£ 400)=0,4938+0,5=0,9938

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, 0,95¹⁰⁰⁰ вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет m раз используют формулу Пуассона

,

где λ=np=const – среднее число появлений события в n испытаниях.

Примеры.

1. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение:

n=1000, p=0,002, λ=np=2, m=3.

Искомая вероятность .

2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение:

n=500, p=0,004, λ=2.

По теореме сложения вероятностей

.

3. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение:

По формуле Пуассона:

λ=np=1000·0,003=3

Примеры решения типовых задач

1. В жилом доме имеется 6400 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет между 3120 и 3200.

Решение:

Используем интегральную теорему Лапласа, где n = 6400, p = 0,5,         q = 1-p = 0,5, m₁ =3120, m₂ = 3200.

.

; .

Находим по таблице приложения 2:

Тогда .

2. Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна 0,024. Найти вероятность, что за смену откажут 6 элементов.

Решение:

Используем локальную теорему Лапласа:

n =1000, m =6, р=0,024, q=1-0,024=0,976.

Вычислим значение х:

Найдем по таблице приложения 1:

Р₁₀₀₀(6)=

3. Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз. Решение: Так как число n=200 достаточно велико, будем использовать интегральную теорему Лапласа для подсчета вероятности, где m1 =90,     m2 = 110, вероятность появления орла равна р = 0,5, и не появления q=0,5. . . . Находим по таблице приложения 2: Тогда .

4. Всхожесть семян некоторой культуры 90%. Найти вероятности следующих событий: а) из 100 семян взойдет ровно 80 семян; б) из 100 семян взойдет не менее 70 семян и не более 95 семян.

Решение.

Так как п–велико, то применяем локальную формулу Муавра-Лапласа:

, где ,

,  – четная функция, .

Находим по таблице приложения 1 .

Тогда .

Так как полученная вероятность очень мала, то событие, что из 100 семян взойдет ровно 80, практически невозможно.

б)  

Так как n большое и m принимает целые значения из промежутка , то применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа.

.

. .

Находим по таблице приложения 2:

Тогда .

5. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз при 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение:

По условию n =400, m=80, p=0,2, q=0,8.

х=

По таблице приложения 1 находим что φ(0)=0,04986

Тогда Р₄₀₀(80)= .