Сложение вероятностей

Определение. Суммой двух событий А и B называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Сумма обозначается: С=А+В=А или В.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А или В)=Р(А)+Р(В).

Определение. Два события называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу. Если событие обозначим через А, то противоположное ему – через .

Так как при испытании обязательно произойдет или событие А или событие , то согласно теореме о сложении вероятностей получаем .

Если случайные события А₁, А₂,…, А _n образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство

.

Определение. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события. Событие, заключающееся в совмещении событий А и B, будем обозначать А и В или АВ.

Теорема. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

.

Пример.

1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?

Решение.

Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы , где события  и  означают выбор пуговиц красного и синего цвета соответственно.

Вероятность вытащить две красные пуговицы равна , а вероятность вытащить две синие пуговицы . Так как события и  не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения

Умножение вероятностей независимых событий

Определение. Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Р(АВ)=Р(А)·Р(В).

Примеры.

1. В первом ящике 2 белых и 7 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение.

Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика, ;

 - вынули черный шар из первого ящика, ;

В – белый шар из второго ящика, ;

 - черный шар из второго ящика, .

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий  или . По теореме об умножении вероятностей , . Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет

.

Условная вероятность

Определение. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того, произошло или нет событие В.

Вероятность того, что произошло А при условии, что произошло событие В, будем обозначать P _В(A) и называть условной вероятностью события А при условии В.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В частности, отсюда получаем .

Примеры.

1. Вероятность изготовления годного изделия данным станком 0,9. Вероятность появления изделия первого сорта среди годных изделий 0,8. Определить вероятность изготовления изделия первого сорта данным станком.

Решение:

Событие В – изготовление годного изделия данным  станком; событие А – появление изделия первого сорта. Очевидно, Р(В)=0,9, . Искомая вероятность будет

.

2. К экзамену надо подготовить 25 вопросов. Студент пришел на экзамен, зная 20. Какова вероятность того, что студент ответит на все три вопроса билета?

Решение.

Пусть события: А – студент знает первый вопрос;

В – студент знает второй вопрос;

С – студент знает третий вопрос.