![]() | ![]() | ![]() | … | ![]() | … | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | … | ![]() | … | ![]() |
– цена нефти;
– индекс нефтяной компании.
Требуется наилучшим образом отразить общую тенденцию зависимости от
в виде эмпирической формулы:
.
Используется МНК – метод наименьших квадратов.
Структура МНК.
Этап 1. Устанавливается общий вид зависимости от
:
Например,
и так далее.
Строится функция:
![]() | (5) |
где – вектор неизвестных параметров.
Этап 2.
Решается задача безусловной оптимизации:
(6)
– наилучшая кривая в смысле:
Задача:
Пусть
Тогда: | ![]() |
; (7)
![]() |
![]() |
Необходимые условия оптимальности:
![]() |
![]() |
Получили систему уравнений:
![]() | (8) |
Матрица Гессе .
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
в задаче (7).
Численные методы безусловной оптимизации.
(9)
где
![]() | (10) |
– минимизирующая последовательность;
Если | ![]() | (11) |
то говорят, что сходится к
;
(12)
где – направление поиска точки
из
;
– шаговая длина в направлении
;
Критерий точности:
(14.1)
(14.2)
(14.3)
Прямые методы безусловной оптимизации. Циклический покоординатный спуск.
Шаг 0: Выбор начального приближения . Выбор
>0, а также критерия (14). Вычисление
; Положить j =1.
Шаг 1: Решить задачу одномерной минимизации: (15), где
. В результате находим
. Положить
. Вычислить
.
Шаг 2: Если , то положить
;
и перейти к шагу 1. Иначе – перейти к шагу 3.
Шаг 3: Проверка условия достижения точности (критерий останова):
или
. Если она выполняется, то положить
;
и Stop. Иначе положить:
;
;
. Переход к шагу 1.
Метод параболической интерполяции.
Используется для решения вспомогательной задачи одномерной минимизации на шаге 1.
Выбираем:
Вычисляем:
Полагаем:
(16)
Для должны выполняться требования:
(17) |
Решаем (17) относительно .
Получаем аналитическое выражение для .
(17) всегда имеет единственное решение, т.к.
(18)
(18) – определитель Вандермонда.
– приближенное решение задачи (15).
Задача 1.
Рассмотри систему нелинейных уравнений:
Найти методом покоординатного спуска корни данной системы, если начальное приближение ;
.
Решение.
Для начала составим целевую функцию:
;
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
,
– базисные векторы;
– начальное приближение;
1 ) Пусть ;
.
;
;
;
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | 0 | 0,5 | 1,0 |
![]() | 150,0625 | 26,2909 | 64,1393 |
;
2) Пусть ;
.
;
;
;
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | 0 | 0,4 | 0,8 |
![]() | 5,1192 | 0,9414 | 62,8702 |
;
– Не выполняется!
⟹
;
3) Пусть ;
.
;
;
;
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | 0 | 0,03 | 0,06 |
![]() | 0,7925 | 0,076 | 0,2362 |
;
4) Пусть ;
.
;
;
;
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | 0 | 0,002 | 0,004 |
![]() | 0,0276 | 0,0273 | 0,0275 |
;
– Не выполняется!
⟹
;
Следующие итерации будут без описания.
5) =
при
;
.
6) =
при
;
.
– Выполняется!
Так как критерий останова выполнился, то .
Проверка :
Следовательно, является решением системы нелинейных уравнений.
Схематичное смещение корней на плоскости после каждой итерации:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Ответ:
.
Численное решение дифференциальных уравнений
Дата: 2019-05-28, просмотров: 220.