Теорема (без доказательства). Пусть дана функция , определённая на отрезке , а также дифференцируемая  раз на этом отрезке, содержащая узлы интерполяции .

Тогда для оценки погрешности интерполяции в точке  справедливо равенство

где , точка  - некоторая точка, находящаяся на отрезке .

Основной недостаток этой теоремы в том, что  - величина неизвестная. Поэтому при оценке погрешности на практике используется не сама теорема, а следствие из неё.

Следствие. В условиях этой теоремы допустима также и такая оценка погрешности для :

,

а также оценка максимума модуля интерполяции, имеющей вид:

,

где .

Интерполяция сплайнами

Интерполяция сплайнами придумана для того, чтобы избежать главный недостаток кусочно-полиномиальной интерполяции и построить гладкую функцию. Такая интерполяция сочетает в себе глобальную гладкость и локальную простоту функции по сравнению с другими интерполяциями.

Пусть  задана таблицей:

Назовём функцию  интерполяционным сплайном порядка n для функции  на отрезке , если выполнены следующие условия:

1. На всём отрезке  имеет непрерывные производные до порядка  включительно.

2. На каждом из частичных отрезков  является многочленом степени .

3.  для .

Дефект сплайна – это разность .

Самый распространённый вид сплайна – это кубический сплайн с дефектом 1. Рассмотрим его.

По определению сплайн  на любом  отрезке  является многочленом  порядка - :

Раз это – кубический многочлен, то мы будем искать  по следующей формуле:

,

где коэффициенты неизвестны и именно их и надо найти – всего  неизвестных.

По определению сплайна должны выполняться условия совпадения  в узлах интерполяции:

Через   мы обозначили шаг между текущим и предыдущим узлами интерполяции.

Итак, мы получили  линейных алгебраических уравнений. Чтобы получить оставшиеся , потребуем непрерывности производных на отрезке . Так как мы составляем сплайн 3 порядка с дефектом 1, то необходимо выполнить непрерывность  производных – первой  и второй :

Обратите внимание, что эти условия должны выполняться только на внутренних точках, а не на крайних, поэтому внешние точки исключаем из рассмотрения:

Считаем производные:

Приравнивая левые и правые соответствующие производные, получаем ещё линейных алгебраических уравнений:

Недостаёт ещё двух уравнений, которыми мы должны описать поведение производных на крайних точках. Для их получения используют какие-либо требования к поведению сплайна в граничных точках интервала  и .

Выдвигаемые требования могут быть разные. Достаточно вторую производную в этих точках приравнять к каким-либо числам  и . Самое простое требование – это требование нулевой кривизны – положить эти числа равными нулю.

Теперь все  уравнений выведены и давайте соберём их в одну СЛАУ:

Исключим из этой системы , так как они уже известны, и получим:

Эта система содержит все необходимые уравнения для получения . Можно доказать, что решение этой СЛАУ существует.

Задача 8.3.

Функция задана таблицей:

	0	1	2	3	4
	0	1	2	3	4
	1.0	1.8	2.2	1.4	1.0

Составить систему уравнений для нахождения интерполяционного сплайна. Решить её и построить график полученного сплайна. На крайних точках применить требование нулевой кривизны.

Решение.

Так как , то подставим его во все остальные уравнения и слегка упростим систему:

Итого получилась СЛАУ из 11 уравнений с 11 неизвестными:

Использовав любой из описанных в предыдущих лекциях алгоритмов, получаем:

Искомый сплайн описывается следующим набором: