Постановка задачи:
Необходимо вычислить
если 
задана таблично.
В подобных случаях применяют различные методы численного интегрирования. Формулы, используемые для приближенного вычисления однократных интегралов, называют квадратурными формулами. Один из приёмов построения квадратурных формул состоит в том, что подынтегральная функция 
заменяется на отрезке 
интерполяционным многочленом, например интерполяционным многочленом Лагранжа 
.
При этом полагают, что
(1)
Используем представление:
(2)
Получим:
(3)
Т.о.
(3)
где
(4)
Замечание. Коэффициенты 
не зависят от функции 
, т.к. они составлены только с учётом узлов интерполяции.
Предполагая, что шаг интерполяции постоянен, применяем формулу Лагранжа для равноотстоящих узлов и переходом к новой переменной 
. С учётом того, что 
, формула (4) принимает вид:
(5)
При 
имеем 
, а при 
будет 
. Тогда:
, (6)
где
(7)
Окончательно, с учётом (3) и (4), получаем следующий вид квадратурных формул:
(8)
Формула (8) называется формулой Ньютона-Котса, дающей на интервале интегрирования 
различные представления для различного числа 
отрезков разбиения.
Формула трапеции
При 
имеем 
.
Тогда из (7) для формулы Ньютона-Котса получаем коэффициенты 
и 
:
;
;
И по формуле Ньютона-Котса (8) на 
получаем:
(9)
Это и есть формула трапеции – один из простейших способов вычисления определённого интеграла. При 
подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени (т.е. линейной функции). Геометрически это означает, что площадь криволинейной фигуры 
заменяется площадью проекции и величина интеграла составляет площадь трапеции – полусумма оснований, умноженная на высоту.
Естественно, при таком расчёте получается большая погрешность, но её легко можно уменьшить, разбив интервал на большее количество частей и считать каждый с помощью трапеции.
Формула Симпсона
Как известно, через три точки можно провести параболу.
При 
и 
из (7) последовательно получим:
Тогда, с учётом (8), получаем:
(10)
Это – формула Симпсона. Геометрически это означает то, что интегрируемая функция заменяется не на прямую, как в формуле трапеции, а на параболу, что даёт немного более точный результат:
Формула Симпсона 3/8
При 
и 
последовательно получим:
В конечном итоге получим:
:
– формула Симпсона 3/8.
Геометрически это – кубическая парабола
Формула Буля
Задача.
Вычислить ОИ с помощью каждой из формул (кроме 3/8):
Рассчитать относительную погрешность каждого решения, если точное решение 
.
Решение. Предположим, что функция задана не аналитически, а с помощью набора дискретных значений с шагом 
:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | 0.25 | 0.5 | 0.75 | 1 |
| 1 | 1.6553 | 1.5515 | 1.0666 | 0.7216 |
Формула трапеции.
Воспользуемся методом «разделяй и властвуй».
| 
| 
|
| 1 | 1.6553 | 0.3319 |
| 1.6553 | 1.5515 | 0.4009 |
| 1.5515 | 1.0666 | 0.3273 |
| 1.0666 | 0.7216 | 0.2235 |
| Сумма: | 1.2836 | |
Формула Симпсона
| 
| 
| 
|
| 1 | 1.6553 | 1.5515 | 0.7644 |
| 1.5515 | 1.0666 | 0.7216 | 0.5450 |
| Сумма: | 1.3094 | ||
Формула Буля
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 1 | 1.6553 | 1.5515 | 1.0666 | 0.7216 | 1.3086 |
Результат
| Точно | Формула Трапеции | Формула Симпсона | Формула Буля | |
| 1.3083 | 1.2836 | 1.3094 | 1.3086 |
| - | 0.0247 | 0.0011 | 0.0003 |
| - | 0.0189 | 0.0008 | 0.0002 |
Решение СНАУ
Надо решить систему уравнений:
(1)
где 
, 
,…, 
– заданные нелинейные функции. Среди них могут быть и линейные функции, но нелинейность хотя бы одной приводит к нелинейной системе уравнений. Поэтому система (1) называется нелинейной.
Систему (1) можно записать в векторном виде:
, (2)
где
, 
, 
,
– вектор неизвестных, 
– нелинейная вектор-функция от вектора . Решением системы (2) называется вектор , при подстановке которого в систему (2) она превращается в тождество.
Наиболее употребительны для уточнения корней систем нелинейных уравнений – методы итерации (метод простой итерации и метод Зейделя) и метод Ньютона. Как и в случае уточнения корней одного нелинейного уравнения требуется определение хорошего начального приближения (отделение корня), гарантирующего сходимость метода и высокую скорость сходимости.
Для системы двух уравнений это может быть сделано графически, но для систем высоких порядков удовлетворительных методов отделения корней не существует.
В этих случаях можно использовать численные методы оптимизации – раздела вычислительной математики, выделяемого в самостоятельную дисциплину. Например, метод наискорейшего спуска или метод покоординатного спуска.
Дата: 2019-05-28, просмотров: 241.
