Если  - существует переток нейтронов, который характеризует­ся вектором плотности тока . Плотность тока пропорциональна разности концентраций нейтронов со знаком минус (из области с большей плотностью нейтронов в область с меньшей плотностью):

   - закон Фика,

где Ф=nν;

 -оператор набла в прямоугольной (декартовой) системе

координат; D — коэффициент пропорциональности - коэффициент диффузии, который определяется из следующего рассмотрения.

Вывод закона Фика

Рассмотрим бесконечную однородную непоглощаюшую среду с произволь­ным пространственным распределением потока моноэнергетических нейтро­нов, в такой среде Σ_a=0, Σ_t = Σ_S=const.

Подсчитаем число нейтронов, пересекающих элементарную площадку dS в единицу времени сверху вниз (рис.7.2). Предполагаем, что рассеяние нейтронов

сферически симметрично.

Число рассеяний в dV в единицу времени – Σ_SФdV . Доля рассеяний в направлении площадки dS — cos β dS /4 πr ² . Доля нейтронов, проходящих без столкновения путь

Число нейтронов, рассеявшихся в единицу вре­мени в объеме dV и достигших площадки dS , равно   

Полное число нейтронов, пересекающих в еди­ницу времени площадку dS сверху вниз, получим интегрированием этого выражения по верхнему

полупространству:

Плотность одностороннего тока нейтронов будет равна

Чтобы Взять интеграл, необходимо знать . Если  слабо меняется в пространстве от , то можно   разложить в ряд, ограниченный первым и нулевым членами с центром (0,0,0):

где Ф₀=Ф(0,0,0). Использованное предположение справедливо, когда  λ_S  1, т.е. поток слабо меняется на расстоянии порядка длины свободно­го пробега λ_S.

Переходя в разложении к сферическим координатам (x=rsinβcosα, y=rsinβsinα, z=rcosβ), можно получить следующее выражение для плотности ока нейтронов сверху вниз J _:

Аналогично можно получить выражение для плотности тока снизу вверх:

Плотность результирующего тока в направлении оси z:

Если поток не зависит от координат (Ф(x,y,z)=const), то J_z=0, а =Ф₀/4. Аналогичные выкладки можно провести для любой точки пространства, поэтому индекс 0 можно опустить.

Можно получить аналогичные выражения для J_x и J_y . Плотность полного тока нейтронов:

.

Подставляя в данное выражение зависимости для J_x , J_y и J_z , получаем закон Фика:

Обозначаем    - коэффициент диффузии в принятом приближении.

Формулы для односторонних токов перепишутся в виде:

для плотности результирующего тока в направлении оси z:

Аналогично можно получить выражение для коэффициента диффузии в

пабопоглощающей среде (при )  

Учет анизотропии показывает, что

Уравнение диффузии

Уравнение диффузии определяет баланс нейтронов в единичном объёме, рассматриваются моноэнергетические нейтроны - ν=const, но Ф⁼nν≠const

Рассмотрим баланс нейтронов в элементарном объеме dV : изменение числа нейтронов в единицу времени = = скорость генерации — скорость поглощения - скорость утечки. Изменение числа нейтронов в единицу времени в единице объема , изменение числа нейтронов в единицу времени в элементарном объеме

Скорость генерации нейтронов в единице объема - , скорость генера­ции в объеме dV — SdV .

Скорость поглощения нейтронов в единице объема - ,скорость по­глощения в объеме dV — Σ_aФdV .

Под утечкой понимается разность чисел нейтро­нов, вылетающих и влетающих через поверхность, ог­раничивающую рассматриваемый элемент объема (рис.7.3). Рассмотрим элемент объема dV , имеющий вид куба со сторонами dx , dy , dz ; J_z - плотность результирующего тока нейтронов, входящих в dV через нижнюю грань; J_{z + dz} - плотность результирующего тока нейтронов, выходящих из dV через верхнюю грань. Скорость утечки из dV в направлений оси z:

Полная скорость утечки нейтронов из объема dV:

а для однородной среды - -D ∆ФdV ,

где   - оператор Лапласа.

Нестационарное уравнение диффузии:

Это нестационарное уравнение в частных производных второго порядка.

Стационарное уравнение диффузии:

Уравнение диффузии справедливо, если угловое распределение плотности потока нейтронов близко к изотропному, при котором число нейтронов в дан­ном элементе объема, движущихся в любом направлении, одинаково. Уравне­ние диффузии достаточно точно описывает пространственное распределение нейтронов в слабопоглощающих средах, вдали от источников и границ раздела сред с различными свойствами или с резкой зависимостью сечений от координат. Примерами сред, в которых реальные пространственные распределения нейтронов совпадают с решениями уравнения диффузии, являются большие объемы чистого замедлителя. Вблизи сильного поглотителя или источника нейтронов, вблизи границы тела с пустотой (воздухом) распределение плотности потокa  неизотропно, поскольку число нейтронов, движущихся в сторону поглотителя, от источника, в сторону пустоты, всегда больше, чем число нейтронов, движущихся в противоположном направлении. Но если объем областей с нарушениями изотропии диффузии мал относительно объема тела, то могут быть едены такие поправки к решениям уравнения диффузии, которые делают эти решения применимыми во многих практически важных случаях.

Граничные условия

Общее решение уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Константы определяются из граничных условий по заданным значе­ниям функции в граничных точках, или исходя из условий симметрии задачи, или исходя из требования конечности и неотрицательности функции плотности потока нейтронов во всей области изменения переменных (последнее вытекает из физического смысла плотности потока Ф). Для единственности решения любой конкретной задачи необходимо иметь два граничных условия. Для решения  нестационарной задачи необходимо и начальное условие.

Граничные условия на плоской границе двух сред:

1) плотности потоков равны;

2) плотности результирующих токов по нормали равны.

Доказательство

Если на границе нет источников, то число нейтронов, пересекающих единичную площадку 1 в направлении слева направо (справа налево), равно числу нейтронов, прошедших площадку 2 в том же направлении (рис.7.4), т.е. односторонние токи должны быть непрерывны:

 С учетом ранее полученных формул для J _{_} и J ₊ имеем: - плотности односторонних токов в направлении против оси x (J_):

плотности односторонних токов в направлении оси х ( J ₊ ):

Складываем данные выражения, тогда – Ф₁=Ф₂ (первое условие).

Вычитаем, тогда-    или   (второе условие).