В гомогенном реакторе энергия нейтронов становится ниже порога деления  U²³⁸ после нескольких столкновении с ядрами замедлителя. В гомогенных раз­множающих средах число атомов урана мало по сравнению с числом атомов замедлителя, поэтому вероятность первых столкновений родившегося быстрого нейтрона с ядром U²³⁸ близка к нулю. При этом коэффициент размножения на быстрых нейтронах μ в гомогенной среде практически равен единице.

В гетерогенном реакторе нейтроны деления рождаются в топливном блоке и, прежде чем попадают в замедлитель, проходят через уран значительное рас­стояние, поэтому вероятность первых столкновений родившегося быстрого нейтрона с ядром U²³⁸ достаточно велика. В гетерогенном реакторе с обыкно­венной водой в качестве замедлителя значение коэффициента μ значительно больше коэффициента μ в реакторах с другими замедлителями. Отношение концентраций атомов водорода и урана в реакторах с обыкновенной водой во много раз меньше отношения концентраций атомов замедлителя и урана в ре­акторах с другими замедлителями. Благодаря этому нейтрон, покинувший топливный блок, с большой вероятностью проходит тонкий слой замедлителя без столкновения. Большой вероятности проникновения быстрых нейтронов в топ­ливные блоки без столкновения в замедлителе способствует также малое сече­ние рассеяния водорода в быстрой области. Коэффициент μ равен 1,06 для от­ношения объемов воды и урана V _зам / V_U =2 и d_U =1,5 см, а при V _зам / V_U =1 дости­гает даже значения 1,1. Максимально возможное значение коэффициента μ равно 1,28 в бесконечно протяженной среде, состоящей только из U²³⁸ . Для расчета коэффициента μ используют аппроксимационные формулы.

9.3. Вероятность избежать резонансного захвата

Интеграл в показателе экспоненты формулы для вероятности избежать ре­зонансного поглощения φ при Е=Е_гр (при замедлении нейтронов до тепловой энергии) обычно преобразуется к виду

где - концентрация ядер поглотителя;

— эффективный резонансный интеграл поглощения резонансным поглотителем, имеющий смысл сечения.

В данных преобразованиях сечение поглощения гомогенной смеси замедлителя и поглотителя , поскольку сечение поглощения замедлителя в промежуточной области энергий пренебрежимо мало ( - микскопическое сечение поглощения резонансным поглотителем). Сечение рассеяния смеси  и тогда  есть замедляющая способность замедлителя.

С учетом выполненных преобразований вероятность избежать резонансного захвата в гомогенной среде равна

 Т.е. определяется некоторым эффективным макроскопическим сечением по­глощения  замедляющей способностью замедлителя .

Резонансный интеграл

В случае очень слабого поглощения плотность потока нейтронов можно приближенно представить как

Тогда число поглощений в единицу времени в единице объема во всем энер­гетическом диапазоне замедляющихся нейтронов есть                                                                                                                                                                                          

где

Вероятность избежать резонансного захвата

Данное выражение находится в согласии с ранее полученным выражением для φ, которое путем разложения в ряд Тейлора можно представить при слабом поглощении в том же виде:

Здесь при  имеем , a , поэтому экспонента выражается двумя первыми членами разложения в ряд. Общая формула дает φ при любом поглощении.

Выражение    — называется резонансным интегралом поглощения при бесконечном разбавлении или просто резонансным интегралом, а иногда истинным резонансным интегралом. Величина I _а имеет размерность

микроскопического сечения, так что  есть некоторое макроскопическое сечение поглотителя.

Резонансные интегралы велики при наличии резонансов поглощения, кото­рые дают подавляющий вклад в величину I _а , что и определяет их название. Значения резонансных интегралов некоторых нуклидов:

I_a(U²³⁸)=280 б; I_a(In¹¹⁵)=2640 б.

Величину I _а можно вычислить через экспериментальные значения σ_а(Е), а также через параметры резонансов, так как существует аналитическая зависи­мость σ_γ (Е) в пределах каждого резонанса.

Резонансный интеграл представляет собой микросечение поглощения дан­ного вещества, интегральное по энергии и усредненное по энергетической за­висимости спектра Ферми, т.е. при каждой энергии Е, взятое с весом 1/ E . Ско­рость поглощения нейтронов R_п пропорциональна макросечению и плотности потока, а плотность потока замедляющихся нейтронов пропорциональна 1/ E . Поэтому вклад в поглощение будет определяться, главным образом, низкими энергиями, где плотность потока велика (даже если бы σ_а(Е) было постоянно в диапазоне замедления нейтронов). Резонансный интеграл I _а характеризует по­глощающую способность среды по отношению ко всем замедляющимся ней­тронам в целом. Резонансный интеграл I _а описывает поглощение нейтронов в неискаженном самим поглощением спектре Ферми.

В реальных средах, в присутствии веществ с сильным резонансным погло­щением, нейтронный поток искажен, что приводит к некоторому уменьшению полного числа поглощений в сравнении с предельно возможным. Обычно это снижение поглощения относят не на счет нейтронного потока, а на счет сечения поглощения. Исправленный на эффект снижения потока резонансный интеграл называют эффективным резонансным интегралом.

Эффективный резонансный интеграл

Усреднение эффективного сечения

по неискаженному спектру замедления и дает эффективный резонансный интеграл .

Величина  определяется не только сечением поглощения σ _a ( E ), но и со­отношением макроскопических сечений рассеяния  и поглощения  среды в целом. Если << , то , однако если ,, то .

Аналитические зависимости для  можно получить путем решения интегрального уравнения в бесконечной гомогенной среде с учетом потери энергии при рассеянии нейтрона на поглотителе

Здесь   ;

 индексы: 0 - поглотитель, 1 - замедлитель.

Данное уравнение можно решить в двух приближениях: узких резонансов (УР) и бесконечной массы (БМ).

В приближении УР предполагается, что нейтроны при столкновении с ядрами замедлителя проскакивают область резонанса -

Приближение БМ обратно приближению УР. В нем предполагается, что нейтрон теряет энергию, гораздо меньшую, чем практическая ширина резонанса, поэтому для выхода из области резонанса требуется много рассеяний.

Имеются такие резонансы, когда выбор между приближениями не может быть сделан достаточно обоснованно и ни одно из них не дает удовлетворительных результатов.

Измерение эффективных резонансных интегралов в гомогенных размножающих средах показало, что их значения не зависят от природы замедлителя, а определяются только соотношением , где , числом барн сечения рассеяния, приходящихся на один атом поглотителя.

В диапазоне сечений рассеяния на атом поглотителя от 10 б (чистый метал­лический уран без замедлителя) до 1000 б экспериментальные данные пред­ставляются выражением:

Резонансный интеграл U²³⁸ —  =280 б, а эффективный резонансный инте­грал для чистого металлического урана —  10 б, т.е. меньше в 28 раз.

Снижение   при повышении концентрации U²³⁸ — N ₈  несколько умень­шает снижение значения φ, которое зависит также непосредственно от N ₈ .

Вероятность избежать резонансного захвата в гетерогенном реакторе

Выражение для вероятности избежать резонансного захвата в гетерогенном реакторе φ_гет отличается от выражения для φ_гом наличием отношения объемов топливного блока и замедлителя в показателе экспоненты

Гетерогенный эффективный резонансный интеграл  сохраняет прежний

смысл микросечения поглощения нейтронов во всем диапазоне замедления, исправленного на ослабление потока за счет поглощения. В гетерогенной среде на особенности энергетического распределения нейтронного потока накладывают­ся особенности пространственного распределения в элементарной ячейке. В

объеме замедлителя поток замедляющихся нейтронов не ослабляется ни при каких энергиях, поскольку замедлитель не содер­жит урана. В топливном блоке поток ней­тронов с энергией, не совпадающей с энер­гиями резонансов, также не ослабляется. Но потоки резонансных нейтронов ослабляются очень сильно. На рис.9.1 показано распреде­ление плотности потока нейтронов с энерги­ей резонанса по направлению, перпендику­лярному оси топливного блока. Источником резонансных нейтронов является замедли­тель, откуда они проникают в урановый блок, однако вследствие сильного поглоще­ния исчезают на первых же десятых долях миллиметра, т.е. в тонком поверхностном слое. В центральной части уранового блока имеется сравнительно малый равномерный поток резонансных нейтронов, по­скольку какое-то малое число надрезонансных нейтронов, беспрепятственно проходящих через уран, приобретает энергию резонанса непосредственно в уране. Экранирование поверхностным слоем внутреннего объема урана являет­ся причиной того, что он не участвует в резонансном захвате (блок-эффект). В результате, коэффициент φ_гет всегда больше коэффициента φ_гом. Увеличение диаметра уранового стержня уменьшает долю поверхностной области наи­большего поглощения резонансных нейтронов. При этом уменьшается  и, следовательно, увеличивается φ_гет. Если в топливном блоке содержатся атомы замедлителя, например, кислорода в составе молекул топлива из UO₂, то роль поверхностной блокировки снижается, так как за счет рассеяния на ядрах О появляются дополнительные резонансные нейтроны, поглощаемые ураном.

Гетерогенный эффективный резонансный интеграл рассчитывается по аппроксимационной формуле с экспериментальными коэффициентами:

где S -площадь поверхности топливного блока; М-масса поглотителя в блоке; A=4,05; B=25,8 — для металлического урана; A=5,55; B=26,6 — для диоксида ура­на. Отношение S / M имеет размерность см² /г, а I _аф  - б. Данная формула соот­ветствует характеру распределения резонансных нейтронов по объему блока. В случае тесных решеток необходимо учитывать эффект затенения блоков, вводя в формулу коэффициент затенения [7].