Рассматривается элементарная теория замедления, в которой предполагает­ся, что во всем энергетическом интервале от 1 эВ до 10 МэВ нейтроны теряют (энергию только в результате упругого рассеяния на неподвижных и свободных ядрах. Упругое рассеяние на легких ядрах наиболее эффективно для замедле­ния нейтронов до тепловой энергии. Неупругое рассеяние существенно лишь для замедления быстрых нейтронов, энергетические пороги исключают замед­ление нейтронов меньших энергий путем неупругого рассеяния.

Акт рассеяния

Для получения характеристик рассеяния рассматривается отдельный акт уп­ругого рассеяния в системе центра инерции, в которой подавляющее число столкновений равновероятно на любой угол.

В лабораторной системе координат движение частиц рассматривается отно­сительно границ системы, а в системе центра инерции (масс) — относительно некоторого центра, движущегося равномерно и прямолинейно относительно границ системы.

Рассмотрим акт рассеяния на неподвижном (в лабораторной системе коор­динат) ядре (рис.6.1).

Законы сохранения количества движения и энергии справедливы для обеих систем. В лабораторной системе:

                                                                                                         (6.1)

                                                                                                          (6.2)

Скорость центра инерции с принимается соответствующей выражению

 Она равна

,                                                                                                                            (6.3)

и ее направление (в рассматриваемом частном случае) совпадает с направлени­ем скорости движения нейтрона до столкновения.

В системе центра инерции скорости равны:

- до столкновения

                                                           (6.4)

- после столкновения М

                                           (6.5)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   Рассчитав количества движения до и после столкновения с учетом послед­них четырех выражений, получим

                                 (6.6)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

т.е. полное количество движения в системе ЦИ сохраняется и равно нулю до и после столкновения, откуда следует:

                                (6.7)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

т.е. скорости нейтрона и ядра в системе ЦИ противоположны до и после столк­новения. Подставив промежуточные записи из выражений (6.4) и (6.5) в выра­жение закона сохранения энергии в лабораторной системе (6.2), получим

т.е. кинетическая энергия в системе центра инерции сохраняется. Подстановка соотношений (6.7) в последнее выражение дает

w_o = w ; W_Q = W .                                          (6.8)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Итак, абсолютные значения скоростей нейтрона и ядра в системе ЦИ не из­меняются при столкновении, изменяется лишь ориентация этих скоростей.

Теперь можно рассчитать потерю энергии нейтроном при столкновении с неподвижным ядром.

Скорость нейтрона в лабораторной системе (см. (6.5) и рис.6.1):

;    ,

где  - угол рассеяния в системе центра инерции, соответствующий углу ψ в лабораторной системе;  — скалярное произведение векторов). С учетом (6.3), (6.8) и (6.4) получим соответственно

Тогда

Где

Энергия нейтрона после столкновения с ядром будет равна первоначальной (E — E ₀ ) при угле рассеяния =0, минимальная энергия  при  - лобовом столкновении и рассеянии в обратном направлении. При лобовом столкновении с протоном ( =0) Е=0, при лобовом столкновении с тяжелым ядром, характеризующимся большим значением A ( ) E ≈ E ₀ , т.е. нейтрон теряет мало энергии.

Соотношение между углами рассеяния в системе центра инерции и лабораторной системе получаем, проецируя скорости на ось х (рис.6.1):

откуда

                                                  (6.9)          

Углы рассеяния в лабораторной системе меньше, чем в системе ЦИ, но пре­дельные значения совпадают, кроме случая А=1, когда углу θ=π соответствует о ψ=π/2 (с E=0).

Рассеяние изотропно (равновероятно на любой угол) в системе ЦИ для подавляющего числа столкновений. При этом средний косинус угла рассеяния

 = 0, что соответствует углу рассеяния θ=π/2. Угловое распределение расcеянных нейтронов не изотропно при высоких энергиях (Е₀>1 кэВ) и в области тепловых энергий (влияние химических связей). С учетом выражения (6.9) можно получить выражение для среднего косинуса угла рассеяния в лабораторной системе координат:

Средний косинус угла рассеяния может служить мерой асимметрии рассеяния. При большом A  и рассеяние становится сферически симметричным в лабораторной системе координат.

Наибольшая асимметрия наблюдается при А=1, т.е. при рассеянии на протонах - рассеяния в обратном направлении не может быть, всегда ψ<π/2, а

 = 2/3 (ψ=48°).

Закон рассеяния

При сферически симметричном рассеянии в системе ЦИ любое значение энергии после рассеяния в лабораторной системе координат оказывается равновероятным в пределах от E_max = E ₀  до Е_min=εЕ₀ (рис.6.2).

Плотность вероятности энергии нейтрона после рассеяния —  

  при этом

Средняя потеря энергии

Средняя доля потерянной нейтроном энергии , она зависит только от массы ядра, с которым сталкивается нейтрон. При столкновении с

протоном =1/2, с тяжелым ядром (А>>1) -  ≈2/A.