Предполагаем, что диффузионная среда ограничена некой поверхностью, отделяющей эту среду от вакуума или от сильно поглощающего нейтроны тела.
Вблизи границы с пустотой на невогнутой поверхности поток изменяется так, что его линейная экстраполяция приводит поток к нулю на некотором расстоянии d э от границы - Ф( R + d э )=0 (рис.7.5), где d э - длина линейной экстраполяции. Это вытекает из следующих рассуждений.
Вакуум обладает тем свойством, что попавший в него нейтрон никогда не возвращается в среду, т.е. J _( x = R )=0.
Если предположить, что рассматриваемая теория диффузии справедлива
вплоть до границы, то
Экстраполируем кривую потока с наклоном за границу и тогда из последней формулы найдем расстояние d э :
откуда d э =2/3 λtr .
Решение, полученное при использовании уравнения диффузии, становится весьма грубым вблизи границы раздела (на расстоянии порядка λtr ). Более строгое рассмотрение данной задачи может быть основано на рассмотрении интегрального уравнения Пайерлса [7]:
Уравнение Пайерлса может быть распространено и на случай неизотропного рассеяния в лабораторной системе координат, при этом Σ S заменяется на ΣStr . Оно справедливо как угодно близко к границам объема V .
Как частный случай из этого уравнения может быть получено уравнение диффузии при следующих предположениях: 1) плотность потока слабо меняется на длине свободного пробега; 2) скорость генерации нейтронов S слабо зависит от координат; 3) вдали от границ среды ( ).
Из рассмотрения интегрального уравнения длина линейной экстраполяции dэ =0,71λtr . Это значение принимают при использовании уравнения диффузии.
Поток нейтронов на экстраполированной границе в действительности не равен нулю. Введение экстраполированной границы, на которой поток нейтронов обращается в нуль, это лишь формальный математический прием, используемый при решении уравнения диффузии.
Простейшие решения стационарного уравнения диффузии в неразмножающей среде
Стационарное уравнение диффузии в объеме однородной среды, где нет источников (S=0):
В данном уравнении Σa=const, D=const. Уравнение можно переписать в виде:
где L 2 = D / Σa ; k 2 =Σ a / D ; k, L — параметры, определяющие свойства среды;
L - длина диффузии.
1. Точечный изотропный источник в бесконечной среде:
S ( r =0)= S 0 (н/с).
Уравнение диффузии удобно записать в форме (для r≠0):
Граничные условия:
1) поток нейтронов ограничен;
2) полное число нейтронов, поглощаемых в единицу времени, равно скорости их генерации (условие баланса для стационарной задачи):
Уравнение диффузии решается методом замены переменных - Ф=и/ r . Общее решение:
где С=0, согласно первому условию (физическому смыслу Ф); константа А находится из второго условия (нормировки на источник).
Формула для плотности потока нейтронов от точечного источника:
2. Плоский (бесконечный) источник в бесконечной среде:
S(х=0)=S0 (н/см2с). Уравнение диффузии (для x ≠0):
где х - расстояние от плоскости.
Формула для плотности потока нейтронов от плоского источника:
Согласно данному решению, L - длина релаксации нейтронов от плоского изотропного источника (длина, на которой плотность потока уменьшается в е раз).
3. Точечный источник в конечной однородной сфере радиусом R :
S ( r = 0 )= S 0 (н/с).
Уравнение диффузии (для r≠0):
Граничные условия:
1) поток нейтронов равен нулю на экстраполированной границе сферы Rэ;
2) ток нейтронов, проходящих через сферу радиусом r→0, равен скорости генерации нейтронов источником:
Формула для плотности потока нейтронов от точечного источника в конечной сфере:
где R э = R + d э . Второй сомножитель ускоряет спад плотности потока нейтронов в конечном объеме по сравнению с бесконечным.
4. Произвольное распределение источников:
На основании решения для случая точечного источника, можно определить плотность потока нейтронов для произвольного распределения источников, используя принцип суперпозиции:
где
-функция Грина (функция влияния); r 0 - координата источника
Длина диффузии
Используя решение для случая точечного источника, можно определить средний квадрат смещения нейтрона от источника до места поглощения:
Усреднение r 2 выполнено по ΣаФ - числу поглощений в единицу времени в
единице объема (интенсивности поглощений).
Тогда , т.е. квадрат длины диффузии равен 1/6 среднего квадрата
смещения нейтрона от точечного источника до точки его поглощения. При этом общая длина траектории (путь) нейтрона до точки его поглощения всегда больше смещения (расстояния по прямой).
В размножающей среде с равномерным распределением источников быстрых нейтронов и их замедлением квадрат длины диффузии равен 1 /6 среднего квадрата смещения нейтрона от точки, где он стал тепловым, до точки его поглощения.
Длина диффузии определяется основными характеристиками среды: коэффициентом диффузии D и сечением поглощения Σа. Используя связь D с Σtr, получим следующую формулу для длины диффузии тепловых нейтронов:
В табл.7.1 приведены значения длин диффузии тепловых нейтронов в различных средах, а также коэффициента диффузии и сечения поглощения [3]. Как видно из табл.7.1, длина диффузии, в первую очередь, определяется поглощающими свойствами среды.
Длина диффузии зависит от температуры среды. На величину L температура влияет двояко – через плотность (γ), зависящую от температуры, и непосредственно через температуру (температуру нейтронного газа) ( ). Для неводяных сред L возрастает с увеличением температуры замедлителя. Для воды зависимость L от температуры имеет иной характер из-за существенной зависимости длины переноса от энергии нейтронов.
Время диффузии t диф =λа /v - это время жизни тепловых нейтронов.
Альбедо
Альбедо - это отражающая способность или коэффициент отражения (понятие, заимствованное из оптики).
Альбедо нейтронов где J + , J_ - плотности односторонних токов
нейтронов на входе и выходе в отражатель соответственно. Для плоской границы:
где значение на границе.
Значения альбедо определяются диффузионными константами среды и близостью границы отражателя с пустотой. Нейтроны отражаются не от плоскостей, а от объемов вещества. Если толщина отражателя мала по сравнению с длиной диффузии, то многие нейтроны достигают границы с пустотой и покидают объем тела. Поэтому уменьшение толщины отражателя снижает альбедо.
Альбедо отражателя конечной толщины а (плоская граница):
Значения альбедо бесконечной среды велики. В табл.7.1 приведены значения альбедо различных сред. Когда a >2 L , отражатель можно считать бесконечным. В таком случае альбедо зависит только от диффузионных констант среды. Альбедо отражателя бесконечной толщины (плоская граница):
При увеличении L возрастает β. При увеличении уменьшается β. Длина диффузии L характеризует сохранность нейтронов, транспортная длина -глубину проникновения нейтронов в отражатель (расстояние, на котором траектория нейтронов поворачивается на угол π/2).
Благодаря высоким коэффициентам отражения, каждый нейтрон в процессе диффузии многократно пересекает некоторую условную плоскость внутри объема тела. Соседние объемы вещества много раз обмениваются одними и теми же порциями нейтронов, что создает высокие концентрации нейтронов в конденсированных средах, которые наблюдаются на опыте и в сравнении с которыми концентрации в направленных нейтронных потоках в пустом пространстве пренебрежимо малы. По той же причине диффузионный ток обычно мал в сравнении со скалярным потоком Ф.
Дата: 2019-04-23, просмотров: 296.