Рассмотрим замедление нейтронов, испускаемых моноэнергетическим источником, в непоглощающей среде из тяжелых ядер. В таком случае адекватна модель непрерывного замедления.
На рис.8.1 представлена качественная зависимость u = ln ( Ef / E ) от времени t .
зависимость имеет ступенчатый вид. Такая зависимость индивидуальна для каждого нейтрона. В среднем высота ступенек постоянна и равна среднелогарифмической потере энергии на одно столкновение . В средах из достаточно тяжелых ядер (неводородсодержащих) нейтрон испытывает много соударений при замедлении до тепловой энергии. Высота ступенек в таких средах мала, поэтому реальную зависимость можно заменить плавной (штриховая линия) - модель непрерывного замедления. Такая модель математически описывается диффузионными уравнениями, записываемыми для непрерывных функций.
Примем, что все нейтроны, диффундировавшие в течение времени t после рождения, имеют скорость ν. Тогда число столкновений одного нейтрона за время равно или . Приравнивая данные выражения, получаем соотношение, связывающее летаргию со временем,
(8.1)
Данное выражение определяет непрерывную зависимость между летаргией и временем (показана на рис.8.1 пунктиром). Оно подменяет дискретную картину замедления непрерывным замедлением.
Уравнение возраста
Предположим, что в момент t =0 испускается некоторая порция нейтронов с энергией E 0 . Эта порция диффундирует (распределяется по всё возрастающему объему) и замедляется (снижая энергию). В произвольный момент времени t число нейтронов в единице объема вокруг произвольной точки . Это распределение подчиняется нестационарному уравнению диффузии. Источников в момент времени t>0 в этой точке нет (источник есть только при энергии E0 что соответствует времени t =0). В результате, нестационарное уравнение диффузии при отсутствии поглощения будет выглядеть следующим образом:
(8.2)
так как
Между плотностью нейтронов в шкалах времени и летаргии можно записать следующее соответствие: , если соответствует . В данном выражении - число нейтронов в единице объема вокруг точки за время после выхода из источника oт t до , а - число нейтронов в единице объема вокруг точки , имеющих летаргию от и до Тогда
Заменяя выражением (8.1), получим
(8.3)
Записываем тождество
Заменяя выражением (8.1), получим
Воспользуемся (8.3) и получим
Подставляя выражения (8.3) и (8.4) в уравнение диффузии (8.2), получим
(8.4)
(1/(см3 с)) - плотность замедления.
Тогда
- нестационарное уравнение диффузии замедляющихся нейтронов.
Можно записать данное уравнение в функции энергии
где .
Введем новую переменную τ, определив её следующим образом:
Тогда и с учетом этого перепишем уравнение
диффузии замедляющихся нейтронов
Данное уравнение называется уравнением возраста, в котором τ - возраст
нейтронов с летаргией и, [τ]=см2, .
Данное уравнение было получено Ферми. По виду оно совпадает с уравнением теплопроводности, в котором в правой части вместо дифференцирования по времени стоит дифференцирование по возрасту. Однако возраст к хронологическому времени замедляющегося нейтрона имеет лишь то отношение, что увеличивается со временем. Его физический смысл идентичен смыслу квадрата длины диффузии теплового нейтрона. Возраст описывает перемещение в пространстве замедляющихся нейтронов и просто связан со средним квадратом перемещения при замедлении .
Уравнение возраста - нестационарное уравнение диффузии замедляющихся Нейтронов. Это уравнение в частных производных второго порядка, оно должно быть дополнено начальными и граничными условиями.
Начальные условия
Точечный источник мощностью S расположен в точке = 0:
где - число нейтронов в единице объема в единицу времени, начинающих замедление; δ - дельта-функция Дирака, т.е. плотность замедления нейтронов с τ=0 в точке = 0 равна мощности источника S в данной точке ( = 0 ) - предполагается, что все нейтроны рождаются с одной и той же энергией и возраст нейтронов источника равен нулю.
Точечный источник мощностью S расположен в точке :
Распределенный источник:
где - мощность источника в точке .
Граничные условия
Граничные условия, полученные ранее для диффузии моноэнергетических нейтронов, справедливы и для диффузии замедляющихся нейтронов.
1. Условия на границе, разделяющей две среды: должны быть непрерывны плотность потока и первая производная (градиент) потока, умноженная на коэффициент диффузии в среде:
Переходя от плотности потока Ф к плотности замедления q , получим
2. Условие на внешней поверхности среды (границе тела с вакуумом)
Граничные условия должны выполняться для всего спектра энергий нейтронов.
Условия применимости уравнения возраста:
1. Справедливо диффузионное приближение.
2. Тяжелый замедлитель, для которого справедлива модель непрерывного замедления ( , т.е. бесконечно много соударений до того, как летаргия
станет равной и).
Решения уравнения возраста в простейших случаях
Уравнение возраста решается с помощью преобразований Фурье. Решение для точечного источника
(8.5)
Следовательно, плотность замедления описывается распределением Гаусса.
Если τ мало, т.е. велика энергия, то нейтроны находятся вблизи точечного источника (рис.8.2). С ростом τ по мере замедления пространственное распределение всё больше расплывается. Наконец, при достижении тепловой энергии последняя зависимость дает распределение источников тепловых нейтронов около точечного источника быстрых нейтронов.
Обобщенная формула для плоского, линейного, точечного источников:
Для плоского источника п=1, тогда S-число нейтронов, испускаемых единицей поверхности источника. Для линейного источника n=2, тогда S - число нейтронов, испускаемых единицей длины. Для сферического (точечного) источника п=3.
В случае непрерывного расположения источников выражение для плотности замедления можно записать, используя принцип суперпозиции источников, в виде
— функция влияния для замедляющихся нейтронов (функция Грина). Функция влияния представляет собой вероятность того, что быстрый нейтрон, рожденный в точке , будет иметь возраст τ в точке .
Возраст нейтронов
Используя решение для случая точечного источника, можно определить средний квадрат смещения нейтронов от источника при замедлении нейтронов до энергии, соответствующей возрасту τ:
где q - плотность замедления для точечного источника (поглощение отсутствует, рассеяние упругое).
Тогда , т.е. возраст тепловых нейтронов равен 1/6 среднего квадрата
смещения нейтрона от точечного источника (от точки рождения) до точки, где его энергия в процессе замедления стала тепловой.
При этом — длина замедления.
В табл.8.1 приведены экспериментальные значения возраста тепловых нейтронов от источника нейтронов деления при нормальных условиях [3].
Утечка замедляющихся нейтронов из объема тела будет небольшой, если выполняется условие , где R — характерный размер тела. В энергетических реакторах достаточно, чтобы .
Возраст тепловых нейтронов τт и квадрат длины диффузии L описывают смещение нейтронов в пространстве соответственно при замедлении и диффузии в тепловой области и составляют квадрат длины миграции (площадь миграции):
Площадь миграции равна 1/6 среднего квадрата смещения нейтрона от точки рождения до точки его поглощения. При этом - длина миграции.
Теория возраста дает тем лучшее согласие с опытом, чем тяжелее вещество-замедлитель и соответственно меньше ξ, т.е. чем ближе механизм потерь энергии к модели непрерывного замедления и больше число столкновений при замедлении. Поэтому в водородсодержащих средах теория возраста неприменима. Это связано в первую очередь с большой величиной ξ. Большая часть смещения нейтронов в водородсодержащих средах связана с несколькими первыми столкновениями, а теория возраста неприменима к случаю малого числа столкновений. Поэтому распределение (8.5) не имеет места в таких средах. Однако по аналогии с другими замедлителями величина называется возрастом и в водородсодержащих средах.
Время замедления
Из зависимости (8.1) между хронологическим временем замедляющегося нейтрона и его энергии можно найти время замедления до тепловой энергии [5]:
где =2,2 103 м/с и =2 107 м/с - скорости теплового нейтрона и нейтрона деления соответственно; усреднено по интервалу замедления.
В табл.8.2 приведены время замедления в замедлителях от E 0 =2 МэВ до
Eт=0,025 эВ и время диффузии в тепловой
области [3]. Время диффузии примерно в 100 раз больше, чем время замедления. В ядерных реакторах на тепловых нейтронах, благодаря наличию урана, поглощающего нейтроны, время диффузии уменьшается. Однако оно составляет ~10-3 с в реакторах с графитовым и тяжеловодным замедлителем и ~10-4 с в
реакторах с обычной водой, что всё равно много больше времени замедления. В реакторах на быстрых нейтронах замедления практически нет и полное время жизни нейтрона очень мало - около 10-7 с. Хотя сечения поглощения в области энергии быстрых нейтронов невелики, и нейтрон до поглощения испытывает много столкновений с ядрами атомов среды, благодаря скорости порядка 107 м/с это происходит за очень малое время.
Дата: 2019-04-23, просмотров: 296.