Большинство практических методов расчёта движения газированной нефти базируется на результатах исследования установившегося течения. Проблема установившейся фильтрации газированной нефти была рассмотрена С. А. Христиановичем. Им была показана возможность сведения нелинейных задач установившейся фильтрации газожидкостных систем к хорошо изученным задачам движения однородной несжимаемой жидкости в пористой среде. Другими словами, задача приводилась к уравнению Лапласа для некоторой вспомогательной функции Н, которая в дальнейшем получила название функции Христиановича.

Рассмотрим прямолинейно-параллельное стационарное течение трёхфазной системы с учётом реальных свойств пластовых флюидов. В этом случае система уравнений (9.73), (9.76) принимает вид

.

.37)

.

(4.37)

Введём понятия газового Г_г и водонефтяного Г_н факторов; по определению, имеем:

.

(4.37)

При помощи равенств (9.74) и (9.71) находим:

.

(4.37)

где  w-площадь сечения пласта.

Тогда выражения (9.80) примут следующий вид

.

(4.37)

:

откуда, используя выражения (9.59) для скоростей фильтрации фаз, окончательно найдемнайдём:

где введены следующие обозначения:

Следуя С. А. Христиановичу, покажем, что при установившемся течении трехфазнойтрёхфазной смеси газовый Гг и водонефтяной Г, факторы остаются постоянными.

Для этого сделаем сначала некоторые вспомогательные преобразования. С учетомучётом (9.81) и (9.82) преобразуем сумму, стоящую в квадратной скобке в левой части уравнения (9.79), к следующему виду:

Тогда уравнение (9.79) примет следующий вид:

Продифференцировав последнее равенство как произведение и учтя уравнение неразрывности (9.77) для нефти, найдём (р_г0 = constсопя!):

откуда, поскольку др/дх=0, получим дГг/дх = О, следовательно, газовый фактор постоянен вдоль линии тока:

Гг = const. (9.85)

и уравнение (9.78) преобразуется к виду

откуда, в силу уравнения (9.77), найдём:

Совершенно аналогично преобразуется уравнение (9.78). С учётом (9.82) и (9.84) получим:

и, следовательно, вдоль линии тока водонефтяной фактор также постоянен:

Г„ = const. (9.86)

Константы в соотношениях (9.85) и (9.86) определяются значениями давления и насыщенностей s„ и s, в какой-либо точке линии тока (например, на контуре пласта или в невозмущённой области движения, где значения насыщенностей и давления постоянны). Обозначим эти константы соответственно через Гг0 и Гв0. Тогда соотношения (9.85) и (9.86) с учётом (9.81) и (9.82) принимают вид

Равенства (9.87) дают два дополнительных соотношения, позволяющие связать между собой насыщенности sH и sb порового пространства нефтью и водой в какой-либо точке пористой среды и давление р в этой точке. Это даетдаёт возможность выразить sн и sв. из уравнений (9.87) как функции давления.

Учитывая это, введемвведём обобщеннуюобобщённую функцию Христиано-вича в виде

Тогда dH = (k kH/вH muH)dp, и уравнение (9.77) принимает вид

т.е. приводится к одномерному уравнению Лапласа для функции Н, определяемой из равенства (9.88). При этом уравнение для скорости фильтрации нефти, как следует из (9.59), получаем в следующем виде:

а приведённый объёмный расход нефти

Отметим, что аналогичные результаты получают и для плоского и пространственного стационарного фильтрационного потока [69].

Система уравнений (9.89) и (9.90) полностью совпадает с обычными уравнениями движения несжимаемой жидкости по закону Дарси (см. гл. 3). Таким образом, каждому случаю движения однородной жидкости отвечает случай движения газированной жидкости. Разница будет заключаться в том, что одному и тому же полю скоростей однородной и газированной жидкости будут отвечать разные перепады давления. При этом семейство изобар в однородной жидкости будет являться семейством изобар и для газированной жидкости. Абсолютные значения давлений на этих линиях будут различны. Зная распределение давления и скорость фильтрации нефти, из уравнений (9.87) и (9.59) можно найти распределение свободного газа и воды в области движения и скорости фильтрации этих фаз.

Таким образом, в общем случае изучение установившегося течения трёхфазной смеси сводится к интегрированию уравнений Лапласа для обобщённой функции Христиановича Н(р). Следовательно, для однотипных постановок задач результаты, известные для фильтрации однородной несжимаемой жидкости (см. гл. 3), могут быть использованы для расчёта фильтрации трёхфазной системы при замене давления р на функцию Н(р).

При отсутствии воды в пласте, полагая водонасыщенность sв = 0 и Г, = 0, получим частный случай установившегося течения газированной нефти. В этом случае расчёты существенно упрощаются. Для фазовых проницаемостей можно использовать стандартные зависимости kг(s), кн(s), (s = sH), известные для газожидкостной системы (см. гл. 1). Кроме того, будем считать, что коэффициенты вязкостей µ_muг, µ_muн не зависят от давления, нефть слабо снежимаема, так что bН = 1, а газ-совершенный (см. гл. 2), для которого справедливо следующее равенство:

Вместо коэффициента растворимости r({р), входящего в закон Генри

 (9.69), введём размерный объёмный коэффициент растворимости R [м3/(м3.Па)], используемый обычно при расчётах и определяемый как объем газа, который растворяется в единице объёма нефти при повышении давления на 1 Па. Тогда, очевидно,

r(p) = Rp,

и коэффициент R будем считать постоянным.

С учётом этих дополнительных допущений, выражение (9.81) для газового фактора принимает в этом случае вид

Здесь llm (s) = k_г(s)/k_н(s), как следует из равенства (9.83), и введено обозначение а = Rp0rmu01-безразмерная константа. При постоянном газовом факторе (9.85) величина £ также постоянна.

Тогда из (9.91) найдём:

где через р* (s) обозначена известная безразмерная функция насыщенности.

По известным фазовым проницаемостям kг(s) и kH(s) можно построить график р* = р* (s) по формуле (9.92). Для относительных проницаемостей Викова и Ботсета [33, 81] он приведён на рис. 9.18 (для несцементированных песков).

Исключив из зависимостей кя = кп{s) u p* = p*(s) насыщенность s как параметр, можно связать фазовую проницаемость с давлением:

.*„(*; = *»[*(*>•)] = *.(/>*)■

где безразмерный аналог функции Н(р) определён из равенства

Зависимость кн(р*) приведена на рис. 9.19. Теперь функцию Христиа-новича (9.88) можно вычислить явным образом. Для этого представим её в безразмерном виде. Из равенств (9.88) и (9.92) имеем:

Зависимость (9.94) определяется численным или графическим интегрированием с использованием рис. 9.19 и приведена на рис. 9.20 для трёх значений, а = Rp0 muг/muH.

Этот метод расчёта был предложен Б. Б. Лапуком [40]. На примере

Рис. 9.18. Зависимость безразмерного давления от насыщенности

Рис. 9.18. Зависимость безразмерного давления от насыщенности

Рис. 9.18. Зависимость безразмерного давления от насыщенности

Рис. 9.19. Зависимость относительной фазовой проницаемости от р*

Рис. 9.20. Зависимости безразмерной функции Христиановича от безразмерного давления 1-0,02; 2-0,015; 3 - 0,01

одномерных течений сформулируем последовательность этих расчётов.

По известным для данной залежи газовому фактору Гг и давлениям на границах - рk на контуре питания и рд(рс) на галерее (или забое центральной скважины)-определяют из (9.91) и (9.92) величины

С = mu01 Гг, Р* = Pk/(p0 f) И Р*д  =Pgl(Po f).

Зная рk* и рg*, по графику Н*(р*) (см. рис. 9.20) находят Hk* и Hg*, а затем Hк и Нд из равенства (9.93).

Затем, используя аналогию (9.90) с движением несжимаемой жидкости, вычисляют дебит жидкой и газовой фазы. В результате получим: для прямолинейно-параллельного потока

для радиального течения

Функция Н здесь будет распределена так же, как и давление при фильтрации однородной несжимаемой жидкости - по линейному закону для прямолинейного движения, по закону логарифмической кривой для радиального потока.

И. А. Чарный обратил внимание на возможность упрощения этих расчётов [81], заметив, что в широком диапазоне изменения р* зависимость Н*(р*) изображается почти прямой линией (см. рис. 9.20). С достаточной точностью можно принять

Н* = Ар* + В, (9.95)

так что разность Нk — Hс, входящая в выражение для дебитов, легко выражается через депрессию рk,—рс. Согласно (9.95), (9.93) и (9.91) получим:

Это равенство показывает, что для приближенных расчётов газированную жидкость можно рассматривать как фиктивную однородную несжимаемую жидкость, движущуюся в пласте, в котором параметр k/muи следует заменить величиной Ak/muн- Показано (М.М. Глаговский, М.Д. Розенберг, 1961 г.), что параметр А удовлетворительно описывается следующей формулой:

А =ж 0,944-21,43а,

где, a =R p0 muг/ьгн  и предполагается выполнение условия 0,2 < р_c/р_k < 1. Соотношения, определяющие характеристики установившегося течения реальной газированной нефти, широко используются для построения приближенных методов расчёта нестационарной фильтрации газожидкостных смесей и для обработки результатов исследования скважин. При расчётах притока газированной жидкости к скважинам часто используют метод последовательной смены стационарных состояний. В основе этого метода и некоторых других приближенных методов расчёта неустановившейся фильтрации газированной нефти лежит допущение о постоянстве в каждый момент времени газового фактора вдоль линии тока. Использование этого условия, справедливого, как мы видели, при установившемся движении, для расчёта неустановившихся течений газированной нефти является приближенным приёмом. Показано [69], что при нестационарном движении газированной жидкости газовый фактор в каждый момент времени не остаётся строго постоянным вдоль линии тока.