Поскольку дифференциальное уравнение упругого режима (6.14) является линейным, то для его решения используем метод суперпозиции, позволяющий исследовать интерференцию скважин и в условиях упругого режима.

Суть метода суперпозиции (метода наложения) состоит в том, что при совместной работе в пласте нескольких добывающих и нагнетательных скважин изменение пластового давления, вызванное работой каждой из скважин, подсчитывается так, как если бы данная скважина работала одна; затем изменения давления, вызванные работой каждой скважины, алгебраически суммируются по всем скважинам. При этом скорости фильтрации в любой данной точке пласта, вызванные работой каждой скважины, суммируются геометрически.

Наличие прямолинейных границ пласта учитывается методом отображения источников и стоков, как и в случае установившейся фильтрации несжимаемой жидкости (см. гл. 4).

С помощью метода суперпозиции можно исследовать перераспределение пластового давления, вызванное пуском, остановкой или изменением темпов отбора жидкости из скважины.

Для расчёета изменения пластового давления используется основная формула упругого режима фильтрации (6.50). Как было

показано, этой формулой, выведенной для точечного стока в бесконечном пласте, можно с высокой степенью точности пользоваться и в расчёетах притока упругой жидкости к скважине конечного радиуса в открытом или закрытом конечном пласте. Поэтому результаты расчёетов, основанные на методе суперпозиции и использовании формулы (6.50) для бесконечного пласта, оказываются справедливыми с соответствующей степенью точности и в условиях конечного пласта.

Рассмотрим несколько примеров использования метода суперпозиции при интерференции скважин в условиях упругого режима фильтрации.

Пример 1. Пусть в бесконечном пласте одновременно работают п n скважин с постоянными дебитами. Начальное пластовое давление в невозмущенномневозмущённом пласте всюду одинаково и равно p_k. Требуется найти снижение давления DДр = p_k—р (г, t) в любой точке пласта М в любой момент времени t.

На основе метода суперпозиции снижение пластового давления в точке М будет равно алгебраической сумме снижений давления в этой точке, вызванных независимой работой каждой скважины, т. е.

i— 1

где Qi — дебит 1–й скважины (при этом дебит добывающей скважины считается положительным, дебит нагнетательной — отрицательным); rt — расстояние от центра i–й скважины до точки м, где определяется понижение пластового давления; /; — время с начала работы 1–й скважины до момента времени /, в который определяется понижение давления.

Пример 2. Пусть в некоторый момент времени, принимаемый за начальный (t — 0), в невозмущенномневозмущённом пласте с давлением pk пущена в эксплуатацию скважина с постоянным дебитом Q и через промежуток времени tl остановлена. Под остановкой еееё подразумевается мгновенное прекращение притока жидкости к забою скважины. Требуется определить давление в любой точке пласта в любой момент времени как при работе скважины, так и после еееё остановки.

До момента времени tt скважина работала одна, следовательно, пластовое давление в любой точке пласта определяется по формуле

где t изменяется в интервале от 0 до tt.

Начиная с момента времени (скважина уже остановлена), следуя методу суперпозиции, мысленно допустим, что вместе с продолжающей работать добывающей скважиной в той же точке начала работать нагнетательная скважина с таким же расходом Q. Следовательно, с момента t1 в пласт в одной и той же точке закачивается столько же жидкости, сколько из него и отбирается, значит, суммарный фактический отбор жидкости из пласта оказывается равным нулю, что свидетельствует об остановке добывающей скважины по условию задачи.

К моменту времени t после остановки скважины (t>t{) понижение давления в любой точке пласта определяется по методу суперпозиции:

Примерный график понижения забойного давления при работе и остановке добывающей скважины показан на рис.Рисунок - 6 5

Следует отметить, что подъем давления на забое возмущающей скважины начинается сразу же после еееё остановки, с момента г–±. В любой другой точке пласта после момента времени 1г будет ещеещё некоторое время продолжаться снижение пластового давления, причемпричём чем дальше находится эта точка пласта от возмущающей скважины, тем дольше в ней будет продолжаться процесс понижения давления после остановки скважины. Затем и в этой точке пласта начнетсяначнётся повышение давления

Пример 3. Пусть сохраняются условия примера 2, но только в момент времени t = t± добывающая скважина не останавливается, а еееё дебит изменяется от Q до Q1.

Требуется исследовать процесс перераспределения пластового давления после пука скважины и изменения режима еееё работы.

После пуска скважины с постоянным дебитом Q и до момента tt изменение пластового давления определяется по формуле (6.56). После изменения дебита скважины, т е после момента tlt будем мысленно считать, что дебит этой скважины Q сохраняется, а на месте этой же скважины включена нагнетательная скважина с расходом Q—Qj. Тогда результирующий дебит этих двух скважин после момента времени tl будет равен Q — (Q—Qt) = Q, т. е соответствует условию задачи

Изменение давления после времени ti будет слагаться из понижения давления Арь вызываемого продолжающей работать с тем же дебитом Q добывающей скважиной, и из повышения давления Ар2. вызываемого работой воображаемой нагнетательной скважины, т. е.

При этом негласно предполагалось, что дебит возмущающей скважины в момент /j снизился с Q до QJ Если бы изменение дебита было связано с увеличением его, то воображаемую скважину следовало бы считать добывающей, а еееё дебит (Q—QJ) — положительным

Если бы в другой момент времени t2 > 1г дебит скважины был бы вторично снижен и установлен равным Q2, то, основываясь на методе суперпозиции, следовало бы принять, что с момента /2 продолжают работать реальная скважина с дебитом Q, воображаемая нагнетательная скважина с дебитом — (Q– QJ) и, кроме того, начала работать в том же месте вторая воображаемая нагнетательная скважина с дебитом — (Q,—Q2).

Рис.Рисунок - 6.5. График понижения забойного давления при остановке добывающей скважины

Рис.Рисунок - 6.6. Схема полубесконечного пласта с прямолинейной непроницаемой границей

РезультирующееРезультирующее понижение давления Др в момент t> t2 в любой точке пласта определяется из равенства

ДР = pk — pc (г, 0 = API + Дра + Дрз, где

а Др1( Др2 определяют по формуле (6.57).

Аналогично подсчитывается понижение давления в любой точке пласта при многократном изменении дебита добывающей скважины.

Пример 4. Допустим, что однородный пласт имеетимеет бесконечную прямолинейную непроницаемую границу АОВ (рис.Рисунок - 6.6) В этом полубесконечном закрытом пласте в момент времени t = О пущена в эксплуатацию. с постоянным дебитом Q одна скважина, например скважина 1. Требуется изучить процесс перераспределения давления в таком пласте после пуска скважины.

Используя метод отображения источников и стоков (см. гл. 4), зеркально отобразим скв. 1 относительно непроницаемой границы АОВ и дебиту отображеннойотображённой скважины (скв. 2) припишем тот же знак, что и у реальной –скв. 1, т. е. будем считать скв 2 добывающей с дебитом Q. Условия работы скв. 1 в полубесконечном пласте будут точно такими же, как при работе двух скважин (скв. 1, 2) в бесконечном пласте

Используя метод суперпозиции, понижение пластового давления в точке М найдемнайдём как сумму понижений давления, вызванных работой указанных скважин в воображаемом бесконечном пласте, т. е

где r± и rz — расстояния до точки М от скв. 1 и скв. 2 соответственно.

При наличии в полубесконечном пласте нескольких скважин каждую из них следует зеркально отобразить относительно прямолинейной непроницаемой границы.

Применение метода отображения источников и стоков совместно с методом суперпозиции позволяет выяснить влияние прямолинейного контура питания на процесс перераспределения пластового давления. В этом случае все реальные скважины отображаются симметрично относительно этого контура и дебитам отображёенных скважин приписываются противоположные знаки по отношению к дебитам реальных скважин (т. е. добывающие скважины считаются нагнетательными и, наоборот, отображёенные нагнетательные скважины — добывающими). Методом суперпозиции реальных и отображенныхотображённых скважин исследуется процесс изменения пластового давления в любой точке.