Работа и кинетическая энергия при вращательном движении механической системы
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

К твёрдому телу (рис.1.21), вращающемуся вокруг OZ оси  в произвольный момент t времени с вектором ω угловой скорости и имеющему относительно этой OZ оси момент JOZ  инерции, приложен  (1.58) вектор MOвн главного момента от всех векторов Fi внешних сил, приложенных к твёрдому телу относительно O полюса, имеющий составляющую вектора MOZвн по OZ оси вращения.

       Элементарная δ A работа, выполненная вектором MOвн главного момента сил, при повороте твёрдого тела на dφ элементарный вектор угла вокруг OZ оси вращения приведет к приращению

 dW k кинетической энергии тела, которое имеет по аналогии с (1.87) следующий вид:

                   δ A = dWk                                                                                                         Wk2        φ2

                   dWk = MOвн dφ « dWk = MOвн dφ « dWk = MOZвн « ∫ dWk =∫ MOZвн «

                                                                                                             Wk1 φ1       φ2

                                                                                                   « ΔWk = Wk2 - Wk1 = ∫ MOZвн ,       (1.92)                                                                                                              φ1

где MOZвн  - проекция вектора MOвн главного момента от всех векторов Fi  внешних сил на OZ ось вращения твёрдого тела, по которой направлен dφ элементарный вектор угла поворота;

φ1, φ2 - начальное и конечное значения угла поворота твёрдого тела вокруг OZ оси вращения;

      

       n

где MO = ∑[ri,Fi ] - главный(1.58) момент от n векторов F1, F2, , Fn сил  относительно О полюса,

        i = 1

находящегося на OZ оси вращения твёрдого тела, а ri  - радиус - вектор, проведённый из О полюса в точку приложения векторов Fi  внешних сил.

       Выражение (1.92) - это теорема о кинетической энергии, согласно которой

 ΔWk = Wk2 - Wk1  приращение кинетической энергии равно работе MOвн главного момента от 

n векторов F1, F2, , Fn сил  относительно О полюса, находящегося на OZ оси вращения этого твёрдого тела.

       Согласно (1.92) при MOZвн < 0, т.е. отрицательного значения проекции вектора MOвн главного момента от n векторов F1, F2, , Fn сил  относительно О полюса, находящегося на OZ оси вращения  твёрдого тела, ΔWk = Wk2 - Wk1  приращение кинетической энергии этого твёрдого тела отрицательно. При (1.92)  MOZвн > 0 приращение ΔWk = Wk2 - Wk1  кинетической энергии твёрдого тела положительно.

       Из (1.92) получаем следующее выражение:

δ A = dWk = MOвн dφ = (MOвнω) dt = (MOZвнω) dt = JOZβωdt = JOZ( dω/ dt)ωdt = JOZωdω = JOZωdω,           (1.93) где ω = dφ/ dt - вектор ω угловой скорости вращения твёрдого тела вокруг OZ оси, равный согласно (1.18) отношению вектора dφ элементарного приращения угла поворота твёрдого тела к элементарному dt промежутку времени, в течение которого длился этот поворот; MOвн - вектор главного момента от всех векторов F внешних сил, приложенных к твёрдому телу относительно      O полюса, находящегося на OZ оси вращения твёрдого тела; MOZвн - составляющая вектора

MOвн главного момента  от всех векторов F внешних сил, приложенных к твёрдому телу, направленная по OZ оси вращения; (MOвнω) = MOвн ωcosα и (MOZвнω) = MOZвн ω = MOвн ωcosα - равные скалярные произведения, поскольку составляющая MOZвн вектора MOвн, направленная по OZ оси вращения, определяется из выражения:   MOZвн = MOвн cosα, где α - угол между вектором MOвн и OZ осью;

MOZвн = JOYβ - согласно (1.76) уравнению динамики  твердого тела вектор MOZвн главного момента внешних сил пропорционален вектору β углового ускорения вращения твердого тела относительно неподвижной OZ оси; β = dω/ dt - вектор β углового ускорения вращения твёрдого тела вокруг OZ оси, равный согласно (1.21) отношению элементарного приращения вектора dω угловой скорости при вращении твёрдого тела вокруг OZ оси к элементарному dt промежутку времени, в течение которого это приращения вектора dω угловой скорости произошло.

       Кинетическая энергия Wk (рис.1.21), вращающегося твёрдого тела вокруг OZ оси под воздействием вектора MOвн главного момента от всех приложенных к твёрдому телу относительно

O полюса векторов Fi внешних сил, в данный момент t времени, когда модуль вектора ω угловой скорости вращения достигнет ω значения, имеет по аналогии с (1.89) следующий вид:

                                                                                            Wk        ω                                                                                                                                   Wk =∫ dWk = ∫ JOZωdω = ( JOZω2)/2.               (1.94)                                                                                                                    0      0

Дата: 2019-03-05, просмотров: 107.