Элементарной δ A работой вектора F силы, приложенного к материальной точке, на элементарном перемещения dr называется скалярная величина, имеющая с учетом выражения (1.5) v = dr / dt связи вектора v мгновенной скорости с первой производной по t времени от r радиуса - вектора движущейся в (рис.1.1) прямоугольной декартовой системе координат материальной точкой следующий вид: δ A = Fdr = F vdt, (1.80)
где dr - вектор элементарного перемещения материальной точки под действием вектора F силы; v - вектор (1.5) мгновенной скорости материальной точки под воздействием вектора F силы; dt - элементарный промежуток времени, за который вектор F силы совершает элементарную δ A работу. C учётом разложения (1.46) вектора F силы и разложения (1.3) вектора dr элементарного перемещения по базису i, j, k прямоугольной декартовой системы координат, а также с учётом выражения (1.9) связи проекций vx, vy, vz вектора v мгновенной скорости материальной точки с первыми dx/ dt, dy/ dt и dz/ dt производными перемещения этой материальной точки по осям прямоугольной декартовой системе координат cкалярное (1.80) Fdr произведение принимает следующий вид:
δ A = Fdr = ( Fxi + Fy j + Fzk)(idx + jdу + kdz)= Fxdx + Fydу + Fzdz = ( Fxvx + Fyvy + Fz vz ) dt, (1.81)
где учтено следующее свойство скалярных произведений координатных ортов: i2 = j2 = k2 = 1, ij = jk = ik = 0.
С учетом равенства (1.7) элементарного dS приращения пути материальной точки dr модулю вектора dr элементарного перемещения этой же материальной точки, т.е. dr = dS, выражение (1.80) принимает следующий вид: δ A = Fdr = Fdrcosα = FdScosα = FrdS, (1.82)
где dS = dr - элементарная длина пути точки приложения силы за рассматриваемый dt малый промежуток времени; α - угол между векторами F силы, приложенного к материальной точки, и вектором dr элементарного перемещения этой материальной точки; Fr = Fcosα - проекция вектора
F силы на направление вектора dr элементарного перемещения. Если вектор F силы, приложенный к материальной точке, перпендикулярен вектору
dr элементарного перемещения этой материальной точки, т.е. α = π/2, то согласно (1.82) элементарная δ A работа равна нулю. Поэтому вектор F силы, перпендикулярный вектору dr элементарного перемещения материальной точки, работы не совершает. Вектор F силы называют движущим, если Fr > 0, поэтому δ A > 0. Если же Fr < 0, поэтому δ A < 0, то вектор F силы называют тормозящим, т.е. силой сопротивления.
Если на материальную точку одновременно действуют векторы F1, F2, …, Fn сил, то элементарная δ A работа, совершаемая ими за dt малый промежуток времени, равна алгебраической сумме элементарных δ Ai работа, совершаемых за тот же dt малый промежуток времени каждым из векторов F1, F2, …, Fn сил порознь, вследствие чего имеет место следующее выражение:
n n n
δ A = ∑δ Ai = ∑Fi dri = ∑Fividt, (1.83) i = 1 i = 1 i = 1 где dri - вектор элементарного перемещения материальной точки под действием вектора Fi силы; vi - вектор (1.4) мгновенной скорости перемещения на dr длине вектора dr элементарного перемещения материальной точки под воздействием вектора Fi силы.
Подставляем выражение (1.42) второго закона Ньютона dp = Fdt в (1.80) и получаем следующее выражение, связывающее элементарную δ A работу при воздействии на материальную точку, имеющей вектор v мгновенной скорости, вектора F силы: δ A = vdp, (1.84) где dp - элементарное приращение вектора p импульса материальной точки m массой, которая за элементарный dt промежуток времени приобретает это приращение dp вектора p импульса. Работа внутренних сил при любом движении абсолютно твердого тела равна нулю. При поступательном движении твердого, имеющего (рис.1.13) C центр масс, элементарная δ A работа (1.80) вектора Fр результирующей силы в течение элементарного dt промежутка времени с учетом (1.39) связи vC = dr C/ dt вектора vC мгновенной скорости C центр масс этого твёрдого тела с первой производной радиуса – вектора drC/ dt по t времени имеет следующий вид:
δ A = Fр drc = Fрv C dt= v C dp, (1.85)
где (1.51) dp = Fр dt - элементарное приращение вектора p импульса твёрдого тела m массой, центр (1.37) C масс которого за элементарный dt промежуток времени приобретает приращение dp этого вектора p импульса твёрдого тела.
Работа A, совершаемая вектором F силой на конечном участке L траектории перемещения материальной точки, равна алгебраической сумме (1.80) элементарных δ A работ на dr длине вектора dr элементарного перемещения по этой траектории, т.е. с учетом (1.80) выражается следующим криволинейным интегралом: S1 A = ∫Fdr = ∫FrdS, (1.86) L 0
где S1 - длина пути, отсчитываемая вдоль траектории от начала рассматриваемого участка;
|
Тело, находящееся в состоянии механического движения, обладает Wk кинетической энергией. Элементарное приращение dWk кинетической энергии абсолютно твёрдого тела равно (1.85) следующей элементарной δ A работе, совершаемой Fр вектором равнодействующей силы на drc длине вектора drc элементарного перемещения центра (1.37) C масс этого твёрдого тела:
Wk2 S2
dWk = δ A = Fр drc ↔ ∫ dWk = ∫ Fр drc ↔ ΔWk = Wk2 - Wk1 = ∫ Fр r dS, (1.87)
Wk 1 L S1
где Fр r - проекция Fр вектора равнодействующей силы на направление вектора drc элементарного перемещения центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела вдоль данной L траектории; S1, S2 - начальная и конечная точки пути центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела вдоль данной
L траектории; drc = dS - элементарное (1.6) перемещение, равное элементарному приращению
dS пути центра (1.37) C масс твёрдого тела, вдоль данной L траектории; n F р = ∑ Fi. - вектор i = 1
равнодействующей (1.36) силы, равный геометрической сумме векторов F1, F2, . . ., Fn всех сил, которые приложены к центру (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела.
Выражение (1.87) - это теорема о кинетической энергии, согласно которой
ΔWk = Wk2 - Wk1 приращение кинетической энергии равно работе Fр вектора равнодействующей сил, приложенного к центру (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела при его поступательном перемещении вдоль данной L траектории, имеющей S1, S2 начальную и конечную точки этой L траектории.
Согласно (1.87) при Fр r < 0, т.е. отрицательного значения проекции Fр вектора равнодействующей силы на направление вектора drc элементарного перемещения центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела вдоль данной L траектории, ΔWk = Wk2 - Wk1 приращение кинетической энергии этого твёрдого тела отрицательно. При (1.87) Fр r > 0 приращение ΔWk = Wk2 - Wk1 кинетической энергии абсолютно твёрдого тела положительно.
С учётом выражения (1.85) связи элементарной δ A работы с вектором dp элементарного приращение вектора p импульса центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела m массой, а также с учётом выражения (1.42) связи вектора dp элементарного приращения с вектором dv элементарного приращения скорости абсолютно твёрдого тела m массой элементарное приращение
dWk кинетической энергии этого твёрдого тела имеет следующий вид:
dWk= δ A = v Cdp = mv Cdv = mvCdv, (1.88)
где dv - вектор элементарного приращения вектора vC мгновенной (1.4) скорости центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела m массой, которое оно приобрело в результате действия Fр вектора равнодействующей силы в
В ньютоновской механике m = const, поэтому Wk кинетическая энергия движущегося поступательно абсолютно твёрдого тела m массой в данный момент t времени при достижении центром (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела скорости по модулю, равной vC, имеет с учетом (1.88) следующий вид: Wk vC
Wk = ∫ dWк =∫ mvCdv = ( mvC2)/2. (1.89)
0 0
Кинетическая Wk энергия движущейся поступательно механической системы равна сумме кинетических энергий всех частей системы. Кинетическая Wk энергия механической системы, состоящей из n материальных точек, имеет с учетом (1.89) следующий вид: n
Wk = ∑( mivi2)/2, (1.90) i = 1
где mi и vi - соответственно масса и модуль вектора vi скорости i - ой материальной точки механической системы.
При переходе в (1.89) к dm = ρ dV бесконечно малой массе, где соответственно ρ - плотность dV бесконечно малого объем материала твёрдого тела, а dV - бесконечно малый объем с этой dm малой массой, получаем следующее интегральное выражение, с помощью которого определяют кинетическую Wk энергию движущегося поступательно абсолютно твёрдого тела: W k = (∫ρv2dV)/2, (1.91) V
где v - модуль вектора v скорости бесконечно малого dV объема твёрдого тела, а интегрирование ведется по всему V объёму этого твёрдого тела.
Дата: 2019-03-05, просмотров: 237.