Работа и кинетическая энергия при поступательном движении механической системы
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

      

       Элементарной δ A работой вектора F силы, приложенного к материальной точке,  на элементарном перемещения dr называется скалярная величина, имеющая с учетом выражения (1.5) v = dr / dt связи вектора v мгновенной скорости с первой производной по t времени от r радиуса - вектора движущейся в (рис.1.1) прямоугольной декартовой системе координат материальной точкой следующий вид:                                                                δ A = Fdr = F vdt,              (1.80)

где dr  - вектор элементарного перемещения материальной точки под действием вектора F силы;           v - вектор (1.5) мгновенной скорости материальной точки под воздействием вектора F силы; dt - элементарный промежуток времени, за который вектор F силы совершает элементарную δ A работу.        C учётом разложения (1.46) вектора F силы и разложения (1.3) вектора dr элементарного перемещения по базису i, j, k прямоугольной декартовой системы координат, а также с учётом выражения (1.9) связи проекций  vx, vy, vz вектора v мгновенной скорости материальной точки с первыми dx/ dt, dy/ dt и dz/ dt  производными перемещения этой материальной точки по осям прямоугольной декартовой системе координат cкалярное (1.80) Fdr произведение принимает следующий вид:

       δ A = Fdr = ( Fxi + Fy j + Fzk)(idx + j + kdz)= Fxdx + Fydу + Fzdz = ( Fxvx + Fyvy + Fz vz ) dt, (1.81)

где учтено следующее свойство скалярных произведений координатных ортов: i2 = j2 = k2 = 1,          ij = jk = ik = 0.

       С учетом равенства (1.7) элементарного dS приращения пути материальной точки dr модулю  вектора dr элементарного перемещения этой же материальной точки, т.е. dr = dS, выражение (1.80) принимает следующий вид:                                         δ A = Fdr = Fdrcosα = FdScosα = FrdS,     (1.82)

где dS = dr - элементарная длина пути точки приложения силы за рассматриваемый dt малый промежуток времени; α - угол между векторами F  силы, приложенного к материальной точки, и вектором dr элементарного перемещения этой материальной точки; Fr = Fcosα - проекция вектора

F силы на направление вектора dr элементарного перемещения.                                                       Если вектор F силы, приложенный к материальной точке, перпендикулярен вектору    

dr элементарного перемещения этой материальной точки, т.е. α = π/2, то согласно (1.82) элементарная δ A работа равна  нулю. Поэтому вектор F силы, перпендикулярный вектору dr элементарного перемещения материальной точки, работы не совершает.                                                   Вектор F силы называют движущим, если  Fr > 0, поэтому δ A > 0. Если же Fr < 0, поэтому δ A < 0, то вектор F силы    называют тормозящим, т.е. силой сопротивления.

       Если на материальную точку одновременно действуют векторы F1, F2, , Fn сил, то элементарная δ A работа, совершаемая ими за dt малый промежуток времени, равна алгебраической сумме элементарных δ Ai работа, совершаемых за тот же dt малый промежуток времени каждым из векторов F1, F2, , Fn сил порознь, вследствие чего имеет место следующее выражение:

                                                                                                n    n        n

                                                                                                δ A = ∑δ Ai = ∑Fi dri = ∑Fividt,        (1.83)                                                                                   i = 1 i = 1  i = 1                       где dri - вектор элементарного перемещения материальной точки под действием вектора Fi силы;         vi - вектор (1.4) мгновенной скорости перемещения на dr длине вектора dr элементарного перемещения материальной точки под воздействием вектора Fi силы.              

       Подставляем выражение (1.42) второго закона Ньютона  dp = Fdt в (1.80) и получаем следующее выражение, связывающее элементарную δ A работу при воздействии на материальную точку, имеющей вектор v мгновенной скорости, вектора F силы:                     δ A = vdp,    (1.84) где dp - элементарное приращение вектора p импульса материальной точки m массой, которая за элементарный dt промежуток времени приобретает это приращение dp  вектора p импульса.        Работа внутренних сил при любом движении абсолютно твердого тела равна нулю. При поступательном движении твердого, имеющего (рис.1.13) C центр масс, элементарная δ A работа (1.80) вектора Fр результирующей силы в течение элементарного dt промежутка времени с учетом (1.39) связи vC = dr C/ dt вектора   vC мгновенной скорости C центр масс этого твёрдого тела с первой производной радиуса – вектора drC/ dt по t времени имеет следующий вид:

                                                                                                                 δ A = Fр drc = Fрv C dt= v C dp, (1.85)

где (1.51) dp = Fр dt - элементарное приращение вектора p импульса твёрдого тела m массой, центр (1.37) C масс которого за элементарный dt промежуток времени приобретает приращение dp  этого  вектора p импульса твёрдого тела.                                                                                 

       Работа A, совершаемая вектором F силой на конечном участке L траектории перемещения материальной точки, равна алгебраической сумме (1.80) элементарных δ A работ  на dr длине вектора dr элементарного перемещения по этой траектории, т.е. с учетом (1.80) выражается следующим криволинейным интегралом:                                                      S1                                                                                                                                          A = ∫Fdr = ∫FrdS, (1.86)                                                                                                             L   0         

где S1 - длина пути, отсчитываемая вдоль траектории от начала рассматриваемого участка;

Для вычисления интеграла (1.86) необходимо знать зависимость Fr проекции вектора F силы на направление вектора dr элементарного перемещения от промежуточного значения S пути вдоль данной L траектории. Если эта зависимость Fr от S представлена графически (рис1.20), то A работа численно равна заштрихованной площади.  
Fr - проекция вектора F силы на направление вектора dr элементарного перемещения вдоль данной     L траектории.

           

       Тело, находящееся в состоянии механического движения, обладает Wk кинетической энергией.        Элементарное приращение dWk кинетической энергии абсолютно твёрдого тела равно (1.85) следующей элементарной δ A работе, совершаемой Fр вектором равнодействующей силы  на drc длине вектора drc элементарного перемещения центра (1.37) C масс этого твёрдого тела:

                                                        Wk2                                                                 S2

                              dWk = δ A = Fр drc ∫ dWk = ∫ Fр drc ΔWk = Wk2 - Wk1 = ∫ Fр r dS,                 (1.87)  

                                                      Wk 1      L                                        S1

где Fр r  - проекция Fр вектора равнодействующей силы на направление вектора drc элементарного перемещения центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела вдоль данной L траектории; S1,  S2 -  начальная и конечная точки пути центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела вдоль данной

L траектории; drc = dS - элементарное (1.6) перемещение, равное элементарному приращению

dS  пути центра (1.37) C масс твёрдого тела, вдоль данной L траектории; n                                                                                                                                                            F р = Fi. - вектор                                                                                                                             i = 1

равнодействующей (1.36) силы, равный геометрической сумме векторов F1, F2, . . ., Fn всех сил, которые приложены к центру (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела.

       Выражение (1.87) - это теорема о кинетической энергии, согласно которой

 ΔWk = Wk2 - Wk1  приращение кинетической энергии равно работе Fр вектора равнодействующей сил, приложенного к центру (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела при его поступательном перемещении вдоль данной L траектории, имеющей S1, S2   начальную и конечную точки этой L траектории.

       Согласно (1.87) при Fр r < 0, т.е. отрицательного значения проекции Fр вектора равнодействующей силы на направление вектора drc элементарного перемещения центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела вдоль данной L траектории,  ΔWk = Wk2 - Wk1  приращение кинетической энергии этого твёрдого тела отрицательно. При (1.87)  Fр r > 0 приращение ΔWk = Wk2 - Wk1  кинетической энергии абсолютно твёрдого тела положительно.

       С учётом выражения (1.85) связи элементарной δ A работы с вектором dp элементарного приращение вектора p импульса центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела m массой, а также с учётом выражения (1.42) связи вектора dp элементарного приращения с вектором dv элементарного приращения скорости абсолютно твёрдого тела m массой элементарное приращение

dWk кинетической энергии этого твёрдого тела имеет следующий вид:

                                                                                             dWk= δ A = v Cdp = mv Cdv = mvCdv,        (1.88)

где dv - вектор элементарного приращения вектора vC мгновенной (1.4) скорости центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела m массой, которое оно приобрело в результате действия Fр вектора равнодействующей силы в

       В ньютоновской механике m = const, поэтому Wk кинетическая энергия движущегося поступательно абсолютно твёрдого тела m массой в  данный момент t времени при достижении центром (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела скорости по модулю, равной vC, имеет с учетом (1.88) следующий вид:                                                                       Wk      vC         

                                                                                           Wk  = ∫ dWк =∫ mvCdv = ( mvC2)/2.         (1.89)

                                                                                                0    0

       Кинетическая Wk энергия движущейся поступательно механической системы равна сумме кинетических энергий всех частей системы. Кинетическая Wk энергия механической системы, состоящей из n материальных точек, имеет с учетом (1.89) следующий вид: n

                                                                                                                     Wk = ∑( mivi2)/2, (1.90)                                                                                                              i = 1        

где mi и vi  - соответственно масса и модуль вектора vi скорости i - ой материальной точки механической системы.

       При переходе в (1.89) к dm = ρ dV бесконечно малой массе, где соответственно ρ - плотность      dV бесконечно малого объем материала твёрдого тела, а dV - бесконечно малый объем с этой dm малой массой, получаем следующее интегральное выражение, с помощью которого определяют кинетическую Wk энергию движущегося поступательно абсолютно твёрдого тела:                                                                                                                                            W k = (∫ρv2dV)/2, (1.91)                                                                                                                       V             

где v - модуль вектора v скорости бесконечно малого dV объема твёрдого тела, а интегрирование ведется по всему V объёму этого твёрдого тела.

Дата: 2019-03-05, просмотров: 116.