Элементарной δ A работой вектора F силы, приложенного к материальной точке,  на элементарном перемещения dr называется скалярная величина, имеющая с учетом выражения (1.5) v = dr / dt связи вектора v мгновенной скорости с первой производной по t времени от r радиуса - вектора движущейся в (рис.1.1) прямоугольной декартовой системе координат материальной точкой следующий вид:                                                                δ A = Fdr = F vdt,              (1.80)

где dr  - вектор элементарного перемещения материальной точки под действием вектора F силы;           v - вектор (1.5) мгновенной скорости материальной точки под воздействием вектора F силы; dt - элементарный промежуток времени, за который вектор F силы совершает элементарную δ A работу.        C учётом разложения (1.46) вектора F силы и разложения (1.3) вектора dr элементарного перемещения по базису i, j, k прямоугольной декартовой системы координат, а также с учётом выражения (1.9) связи проекций  v_x, v_y, v_z вектора v мгновенной скорости материальной точки с первыми dx/ dt, dy/ dt и dz/ dt  производными перемещения этой материальной точки по осям прямоугольной декартовой системе координат cкалярное (1.80) Fdr произведение принимает следующий вид:

       δ A = Fdr = ( F_xi + F_y j + F_zk)(idx + jdу + kdz)= F_xdx + F_ydу + F_zdz = ( F_xv_x + F_yv_y + F_z v_z ) dt, (1.81)

где учтено следующее свойство скалярных произведений координатных ортов: i² = j² = k² = 1,          ij = jk = ik = 0.

       С учетом равенства (1.7) элементарного dS приращения пути материальной точки dr модулю  вектора dr элементарного перемещения этой же материальной точки, т.е. dr = dS, выражение (1.80) принимает следующий вид:                                         δ A = Fdr = Fdrcosα = FdScosα = F_rdS,     (1.82)

где dS = dr - элементарная длина пути точки приложения силы за рассматриваемый dt малый промежуток времени; α - угол между векторами F  силы, приложенного к материальной точки, и вектором dr элементарного перемещения этой материальной точки; F_r = Fcosα - проекция вектора

F силы на направление вектора dr элементарного перемещения.                                                       Если вектор F силы, приложенный к материальной точке, перпендикулярен вектору    

dr элементарного перемещения этой материальной точки, т.е. α = π/2, то согласно (1.82) элементарная δ A работа равна  нулю. Поэтому вектор F силы, перпендикулярный вектору dr элементарного перемещения материальной точки, работы не совершает.                                                   Вектор F силы называют движущим, если  F_r > 0, поэтому δ A > 0. Если же F_r < 0, поэтому δ A < 0, то вектор F силы    называют тормозящим, т.е. силой сопротивления.

       Если на материальную точку одновременно действуют векторы F₁, F₂, …, F_n сил, то элементарная δ A работа, совершаемая ими за dt малый промежуток времени, равна алгебраической сумме элементарных δ A_i работа, совершаемых за тот же dt малый промежуток времени каждым из векторов F₁, F₂, …, F_n сил порознь, вследствие чего имеет место следующее выражение:

                                                                                                n    n        n

                                                                                                δ A = ∑δ A_i = ∑F_i dr_i = ∑F_iv_idt,        (1.83)                                                                                   i = 1 i = 1  i = 1                       где dr_i - вектор элементарного перемещения материальной точки под действием вектора F_i силы;         v_i - вектор (1.4) мгновенной скорости перемещения на dr длине вектора dr элементарного перемещения материальной точки под воздействием вектора F_i силы.              

       Подставляем выражение (1.42) второго закона Ньютона  dp = Fdt в (1.80) и получаем следующее выражение, связывающее элементарную δ A работу при воздействии на материальную точку, имеющей вектор v мгновенной скорости, вектора F силы:                     δ A = vdp,    (1.84) где dp - элементарное приращение вектора p импульса материальной точки m массой, которая за элементарный dt промежуток времени приобретает это приращение dp  вектора p импульса.        Работа внутренних сил при любом движении абсолютно твердого тела равна нулю. При поступательном движении твердого, имеющего (рис.1.13) C центр масс, элементарная δ A работа (1.80) вектора F_р результирующей силы в течение элементарного dt промежутка времени с учетом (1.39) связи v_C = dr _C/ dt вектора   v_C мгновенной скорости C центр масс этого твёрдого тела с первой производной радиуса – вектора dr_C/ dt по t времени имеет следующий вид:

                                                                                                                 δ A = F_р dr_c = F_рv _C dt= v _C dp, (1.85)

где (1.51) dp = F_р dt - элементарное приращение вектора p импульса твёрдого тела m массой, центр (1.37) C масс которого за элементарный dt промежуток времени приобретает приращение dp  этого  вектора p импульса твёрдого тела.                                                                                 

       Работа A, совершаемая вектором F силой на конечном участке L траектории перемещения материальной точки, равна алгебраической сумме (1.80) элементарных δ A работ  на dr длине вектора dr элементарного перемещения по этой траектории, т.е. с учетом (1.80) выражается следующим криволинейным интегралом:                                                      S₁                                                                                                                                          A = ∫Fdr = ∫F_rdS, (1.86)                                                                                                             L   0         

где S₁ - длина пути, отсчитываемая вдоль траектории от начала рассматриваемого участка;

       Тело, находящееся в состоянии механического движения, обладает W_k кинетической энергией.        Элементарное приращение dW_k кинетической энергии абсолютно твёрдого тела равно (1.85) следующей элементарной δ A работе, совершаемой F_р вектором равнодействующей силы  на dr_c длине вектора dr_c элементарного перемещения центра (1.37) C масс этого твёрдого тела:

                                                        W_k2                                                                 S₂

                              dW_k = δ A = F_р dr_c ↔ ∫ dW_k = ∫ F_р dr_c ↔ ΔW_k = W_k2 - W_k1 = ∫ F_{р r} dS,                 (1.87)  

                                                      W_{k 1}      L                                        S₁

где F_{р r}  - проекция F_р вектора равнодействующей силы на направление вектора dr_c элементарного перемещения центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела вдоль данной L траектории; S₁,  S₂ -  начальная и конечная точки пути центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела вдоль данной

L траектории; dr_c = dS - элементарное (1.6) перемещение, равное элементарному приращению

dS  пути центра (1.37) C масс твёрдого тела, вдоль данной L траектории; n                                                                                                                                                            F _р = ∑ F_i. - вектор                                                                                                                             i = 1

равнодействующей (1.36) силы, равный геометрической сумме векторов F₁, F₂, . . ., F_n всех сил, которые приложены к центру (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела.

       Выражение (1.87) - это теорема о кинетической энергии, согласно которой

 ΔW_k = W_k2 - W_k1  приращение кинетической энергии равно работе F_р вектора равнодействующей сил, приложенного к центру (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела при его поступательном перемещении вдоль данной L траектории, имеющей S₁, S₂   начальную и конечную точки этой L траектории.

       Согласно (1.87) при F_{р r} < 0, т.е. отрицательного значения проекции F_р вектора равнодействующей силы на направление вектора dr_c элементарного перемещения центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела вдоль данной L траектории,  ΔW_k = W_k2 - W_k1  приращение кинетической энергии этого твёрдого тела отрицательно. При (1.87)  F_{р r} > 0 приращение ΔW_k = W_k2 - W_k1  кинетической энергии абсолютно твёрдого тела положительно.

       С учётом выражения (1.85) связи элементарной δ A работы с вектором dp элементарного приращение вектора p импульса центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела m массой, а также с учётом выражения (1.42) связи вектора dp элементарного приращения с вектором dv элементарного приращения скорости абсолютно твёрдого тела m массой элементарное приращение

dW_k кинетической энергии этого твёрдого тела имеет следующий вид:

                                                                                             dW_k= δ A = v _Cdp = mv _Cdv = mv_Cdv,        (1.88)

где dv - вектор элементарного приращения вектора v_C мгновенной (1.4) скорости центра (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела m массой, которое оно приобрело в результате действия F_р вектора равнодействующей силы в

       В ньютоновской механике m = const, поэтому W_k кинетическая энергия движущегося поступательно абсолютно твёрдого тела m массой в  данный момент t времени при достижении центром (1.37) C масс абсолютно твёрдого тела скорости по модулю, равной v_C, имеет с учетом (1.88) следующий вид:                                                                       W_k      v_C         

                                                                                           W_k  = ∫ dW_к =∫ mv_Cdv = ( mv_C²)/2.         (1.89)

                                                                                                0    0

       Кинетическая W_k энергия движущейся поступательно механической системы равна сумме кинетических энергий всех частей системы. Кинетическая W_k энергия механической системы, состоящей из n материальных точек, имеет с учетом (1.89) следующий вид: n

                                                                                                                     W_k = ∑( m_iv_i²)/2, (1.90)                                                                                                              i = 1        

где m_i и v_i  - соответственно масса и модуль вектора v_i скорости i - ой материальной точки механической системы.

       При переходе в (1.89) к dm = ρ dV бесконечно малой массе, где соответственно ρ - плотность      dV бесконечно малого объем материала твёрдого тела, а dV - бесконечно малый объем с этой dm малой массой, получаем следующее интегральное выражение, с помощью которого определяют кинетическую W_k энергию движущегося поступательно абсолютно твёрдого тела:                                                                                                                                            W _k = (∫ρv²dV)/2, (1.91)                                                                                                                       V             

где v - модуль вектора v скорости бесконечно малого dV объема твёрдого тела, а интегрирование ведется по всему V объёму этого твёрдого тела.