Уравнение моментов импульса механической системы
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

           

       С учетом (1.12), (1.68) первая производная по t времени  от результирующего (1.68) вектора LO момента импульса  механической системы относительно любого O полюса  равна вектору    MOвн главного момента сил (1.58) от всех векторов Fi внешних сил, приложенных к этой механической системе, относительно того же O полюса, вследствие чего имеет место следующее выражение:                                                               n               n                    n          n

                                     dLO / dt = d∑ [ri,mivi ]/ dt = ∑[ri,mi dvi ]/ dt = ∑[ri,mi ai] = ∑[ri,Fi] = MOвн, (1.69)                                            i = 1             i = 1          i = 1    i = 1

где  mi, ri , vi и ai - соответственно масса, радиус - вектор, векторы скорости и ускорения i-ой материальной точки, а n - общее число точек в системе.       

       Уравнение (1.69) является уравнением моментов для тела, вращающегося вокруг полюса, т.е. неподвижной точки, в инерциальной системы отсчёта.

       В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы с O началом координат уравнение моментов твердого тела, вращающегося вокруг этого O начала координат, которое совпадает с O полюсом, имеет следующий вид:       

                                                                             dLx/ dt = Mxвн; dLy/ dt = Myвн; dLz/ dt = Mzвн, (1.70)

где Lx, Ly, Lz  и Mx вн, Mу вн, Mzвн - соответственно (1.68) проекции результирующего вектора  LO момента импульса механической системы и (1.58) проекции вектора MOвн главного момента от всех векторов Fi внешних сил на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы с O началом координат.

        Тело вращается (рис. 1.19) вокруг неподвижной OZ оси. Направление его результирующего (1.68) вектора LOZ момента импульса совпадает с направлением этой неподвижной OZ оси. С учетом векторов ω угловой  скорости каждой элементарной mi массы этого тела с ri радиусом - вектором, перпендикулярным неподвижной OZ оси, и равенства согласно (1.25) вектора vi линейной скорости  каждой части тела vi =,r i], а также с учетом  (1.68) результирующий вектор LOZ момента импульса относительно неподвижной OZ оси имеет следующий вид:

                                                                                                       n               n

                                                                                           LOZ = ∑ [ri,mivi] = [ri,mi[ω,ri]].    (1.71)                                                                                              i = 1        i = 1                              Двойное векторное произведение в (1.71) с учетом скалярного произведения (riω) = 0, т.к. (рис.1.19) ri радиусвектор перпендикулярен вектору ω угловой  скорости, имеет следующий вид:

                                                 [ ri,mi[ωri]] = mi[ω(riri) - ri(riω)] =   miri2ω,  (1.72) Подставляем (1.72) в (1.71) и получаем следующее выражение результирующего вектора LOZ момента импульса относительно неподвижной OZ оси:                                                                                                   n                                                                                                                    LOZ = ∑ miri2ω.       (1.73)                                                                                    i = 1                                      i = 1                                                                                                                                                                                                                                                                        
X
Y  

       Подставляем в (1.73) выражение (1.63) момента инерции J OZ  тела относительно неподвижной OZ оси и получаем следующее выражение результирующего вектора LOZ момента импульса с вектором ω угловой  скорости вращения этого твёрдого тела вокруг неподвижной OZ оси:

                                                                                                                                        LOZ = J OZω.     (1.74) Берём первую производную по t времени от левой и правой частей (1.74), подставляем в полученное выражение (1.21) вектор β  углового ускорения при вращении твёрдого тела и получаем следующее выражение первой производной по t времени от результирующего вектора LOZ момента импульса относительно неподвижной OZ оси:                     dLOZ/ dt = JOZ( dω/ dt) = JOZβ.  (1.75)

       Вращение механической системы относительно неподвижной OZ оси является частным случаем вращения этой механической системы вокруг O полюса, лежащего на неподвижной OZ оси. С учётом этого левые части выражений (1.69) и (1.75) равны друг другу. Поэтому можно приравнять правые части выражений (1.69) и (1.75), но заменить в правой части выражения (1.69) вектор MOвн главного момента (1.58) от всех векторов Fi внешних сил, приложенных к механической системе, относительно O полюса вектором MOYвн главного момента  от всех векторов Fi внешних сил, приложенных к механической системе, относительно неподвижной OZ оси, вследствие чего имеет место следующее выражение:                                                                                                   dLOZ/ dt = JOZβ = MOZвн,           (1.76) которое определяет изменение момента импульса механической системы в произвольный момент

t времени и является уравнением динамики  твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, согласно которому вектор Mвн главного момента внешних сил, направленного по этой оси, пропорционален вектору β углового ускорения вращения твердого тела относительно неподвижной оси.

           

Дата: 2019-03-05, просмотров: 140.