Пусть портфель ценных бумаг инвестора включает N (N>1) ценных бумаг с характеристиками . Предположим для простоты, что капитал распределяется между активами в одинаковых пропорциях, т.е. .

Исследуем поведение ожидаемой доходности  и риска портфеля  при условии неограниченной диверсификации портфеля, определяемой как , и различных предположениях относительно корреляции доходностей ценных бумаг.

Пусть доходности ценных бумаг являются взаимно некоррелируемыми случайными величинами, т.е.

.

Ожидаемая доходность портфеля, согласно (5.2),

                              (5.4)

и при стремиться к некоторой константе с>0.

Тогда для дисперсии доходности портфеля имеем:

.

Откуда в условиях примера получаем оценку сверху для риска портфеля:

,                       (5.5)

где .

Из (5.5) следует, что риск портфеля при возможности неограниченной диверсификации портфеля может быть сделан сколь угодно малым:

.                     (5.6)

Свойства (5.6) портфеля ценных бумаг известно как эффект диверсификации портфеля. На нем основано важное практическое правило работы на финансовом рынке: если не принимать во внимание трансакционные расходы (т.е. расходы, связанные с заключением сделок), то для уменьшения риска вложений целесообразно распределять капитал среди возможно большего числа активов, доходности которых можно рассматривать как некоррелируемые случайные величины.

Предположения о существовании на финансовом рынке активов со взаимно некоррелируемыми доходностями практически никогда не выполняется. На практике имеет место противоположная ситуация, когда курсы ценных бумаг зависят от одинаковых макроэкономических и политических факторов, событий и т.п. Это может быть основной причиной для положительной или отрицательной корреляции.

Рассмотрим случай, когда доходности активов являются зависимыми случайными величинами.

Предположим, что доходности различных ценных бумаг, включаемых в портфель, связаны прямой линейной зависимостью, т.е.

.

Тогда при тех же предположениях относительно структуры портфеля его ожидаемая доходность определяется соотношением (5.3), дисперсия доходности портфеля равна

,

а риск портфеля при  стремиться к некоторой константе d, равной среднему арифметическому значению рисков ценных бумаг:

.

Следовательно, в случае положительной корреляции доходностей ценных бумаг эффект диверсификации портфеля не наблюдается, а происходит лишь усреднение рисков вложений в отдельные активы.

В отличие от положительной корреляции отрицательная корреляция доходностей ценных бумаг приводит к уменьшению риска портфеля.

Рассмотрим возможность снижения риска портфеля за счет учета отрицательной корреляции доходностей ценных бумаг.

В этом случае  и согласно (5.3):

.

    Дисперсию портфеля можно определить:

откуда следует, что в рассматриваемом случае существует возможность построения портфеля с нулевым риском (безрискового портфеля), для которого .

Для определения структуры безрискового портфеля необходимо решить систему из двух уравнений:

относительно x₁ х₂.

Откуда доля каждого актива в портфеле:

.

Ожидаемая доходность портфеля равна:

.

Таким образом, в случае отрицательной корреляции активов за снижение риска приходится «платить» и некоторым уменьшением ожидаемой доходности.