Если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. Присоединение начисленных процентов к сумме базы начисления называют капитализациейпроцентов.

Применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам.

В конце первого года проценты равны величине Рi, а наращенная сумма составит Р + Рi = Р(1 + i). К концу второго года она достигнет величины Р(1 + i) + Р(1 + i)i = Р(1 + i)² и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна

S = Р(1 + i)ⁿ.                                                (2.1)

Проценты за этот срок:

I = S – P = Р[(1 + i)ⁿ – 1].

Величину (1 + i)ⁿ называют множителемнаращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов.

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как АСТ/АСТ.

Если в контракте ставка процентов изменяется, то применяют формулу:

,

где i ₁ , i ₂ ,…, i_k  — последовательные значения ставок; n ₁ , n ₂ ,…, n_k  - периоды для соответствующих ставок.

Часто для начисления процентов срок не является целым числом.

Применяют три метода начисления процентов.

1. Наращенная сумма находится по формуле:

,

где n_a - целая часть периода начисления, n_b – дробная часть периода начисления.

2. Предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

.

3. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается:

.

Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. При одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока. При п > 1 с увеличением срока различие в простых и сложных процентов увеличивается. Соотношение множителей наращения представлено на рис. 3.

Рис. 3.

Рис. 3. Соотношение множителей наращения по простым и сложным процентам

Формулы удвоения

На основе формул для простых и сложных процентов

,

S = Р(1 + i)ⁿ

получим следующие формулы удвоения:

§ удвоение по простым процентам:

,

§ удвоение по сложным процентам:

.

В общем случае для увеличения первоначальной суммы в N раз:

§ по простым процентам:

,

§ удвоение по сложным процентам:

.

При работе со сложными процентами применяют правило 72: если процентная ставка есть i, то удвоение капитала происходит примерно за 72/ i лет.

Например, при ставке в 12% удвоение капитала происходит через 6 лет.

2.3 Наращение процентов m раз в году.
Номинальная и эффективная ставки

В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов.

Пусть годовая ставка равна j, число периодов начисления в году — m. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной. Формула наращения:

,                                          (2.2)

где N= nm — общее количество периодов начисления.

ПРИМЕР 2.5. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн руб. через 3 года при росте по сложной ставке 10% годовых, если проценты начисляются поквартально? Период начисления n = 3 года, количество начислений процентов в течение года m = 4 . Наращенная сумма: .

Действительная, или эффективнаяставка процента — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов по ставке j/m. Она измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год.

Обозначим эффективную ставку через i. Множители наращения, рассчитанные по эффективной и номинальной ставкам, должны быть равны друг другу:

.

Отсюда

.

Эффективная ставка при m > 1 больше номинальной.

 Определение номинальной ставки j по заданным значениям i и m :

.