Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Введение

Финансовая математика – это осуществление расчетов по результатам и эффективности депозитных и кредитных операций, операций на рынках ценных бумаг и оценке инвестиционных проектов.

Предметом финансовой математики являются приложения количественного финансового анализа, который применяется как в условиях определенности, так и неопределенности.

К основным задачам финансовой математики относятся:

— измерение конечных финансовых результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон;

— разработка планов выполнения финансовых операций, в том числе планов погашения задолженности;

— измерение зависимости конечных результатов операции от основных ее параметров;

— определение допустимых критических значений этих параметров и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий операции.

Методы, применяемых в финансовой математике, необходимы при непосредственной работе в сфере финансов и кредита, на этапе разработки условий контрактов, при расчетах в личном страховании, при анализе состояния пенсионных фондов.

Простые проценты

Наращение по простым процентным ставкам

Под наращеннойсуммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока начисления.

Обозначим:

I — проценты за весь срок ссуды;

P — первоначальная сумма долга;

S — наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;

i — ставка наращения процентов в виде десятичной дроби;

n — срок ссуды.

Начисленные за весь срок проценты составят

.

Наращенная сумма представляет собой сумму первоначальной суммы и наращенных процентов:

.                          (1.1)

Выражение (1.1) называют формулой простых процентов.

Выражение (1+ ni ) называется  множителем наращения простыхпроцентов, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.

График роста по простым процентам представлен на рис. 1.

 

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 1. График роста по простым процентам

ПРИМЕР 1.1. Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 500 тыс.руб., срок 3 года, проценты простые по ставке 10% годовых (i = 0,1): I = 500 ´ 5 ´ 0,1 = 250 тыс. руб., S = 500 + 250 = 750 тыс. руб.

 

Рассмотрим случай, когда срок ссуды величина дробная. Срок n можно представить в виде дроби:

,

где t — число дней ссуды, К — число дней в году, или временная база начисленияпроцентов.

При расчете процентов применяют две временные базы.

Если К = 360 дней, то получают обыкновенные или коммерческие проценты, а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точныепроценты.

Число дней ссуды берут приближенно и точно.

При приближенном числе дней число дней в месяце берут равным 30 дням. Точное число дней ссуды определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. В соответствии с ГК РФ (п.1 ст. 839 Гражданского Кодекса РФ) дни открытия и закрытия вкладов не включаются в число дней, используемых для начисления процентов. Точное число дней между двумя датами можно подсчитать с помощью программы Microsoft Excel или по таблице дат (приложение 1).

На практике применяются три варианта расчета простых процентов.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (обозначается 365/365 или АСТ/АСТ). Применяется центральными банками и крупными коммерческими банками в Великобритании, США, дает самые точные результаты.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360 или АСТ/360). Этот метод, иногда называемый банковским, распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых — во Франции, Бельгии, Швейцарии. Дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). Такой метод принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах.

Если по вкладу проводились какие либо операции: снятие части средств или внесение дополнительной суммы, то проценты вычисляются несколько сложнее.

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется:

,

где  — ставка простых процентов в периоде t,  — продолжительность периода с постоянной ставкой, .

В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, то есть происходит реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или переменной ставок. Наращенная сумма для всего срока составит

,                  (1.2)

где  — размер ставок, по которым производится реинвестирование.

Если промежуточные сроки начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо (1.2) имеем

,

где m — количество повторений реинвестирования.

Замена платежей

На практике возникают случаи, когда необходимо заменить одно денежное обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. Возникает вопрос о финансовой эквивалентности обязательств.

 Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведенными к одному моменту времени, оказываются равными. То есть две суммы S₁ и S_2,   выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы.

Допустим, сравниваются два платежа S₁ и S₂ со сроками  n₁ и n₂ , причем S₁ < S₂ и n₁<n₂. С ростом i размеры современных стоимостей Р₁, Р₂ уменьшаются. На основе равенства

находим

.

При ставке i = i₀ наблюдается равенство Р₁ = Р₂. Назовем ставку i₀ , при которой достигается равенство первоначальных сумм, критической или барьерной.

 

Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация (объединение) платежей. Пусть платежи S₁, S₂, …, S _m со сроками n₁, n₂, …n _m заменяются одним S₀ и сроком n₀.

При применении простых процентных ставок сумму консолидированного платежа можно найти по формулам:

§ , где ;

§ ,

где , ,

S_j – сумма объединяемых платежей со сроком n_j ( ),

S_k – сумма объединяемых платежей со сроком n_k ( ).

Контур финансовой операции

Пусть выдана ссуда на срок T размере Р. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два платежа R₁ и R₂, а в конце срока выплачивается остаток задолженности в сумме R₃ На интервале t₁ задолженность возрастает, в силу начисления процентов, до величины P₁ . В конце этого периода выплачивается в счет погашения задолженности сумма R₁. Долг уменьшается до K₁ и т.д. Заканчивается операция получением кредитором в окончательный расчет суммы R₃. В этот момент задолженность должна быть равна нулю. Такой график называется контуром операции.

 

 

Рис. 2. Контур операции

Сбалансированная операция, при которой последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности, обязательно имеет замкнутый контур (рис. 2).

 

Сложные проценты

Рис. 3. Соотношение множителей наращения по простым и сложным процентам

Формулы удвоения

На основе формул для простых и сложных процентов

,

S = Р(1 + i)ⁿ

получим следующие формулы удвоения:

§ удвоение по простым процентам:

,

§ удвоение по сложным процентам:

.

В общем случае для увеличения первоначальной суммы в N раз:

§ по простым процентам:

,

§ удвоение по сложным процентам:

.

При работе со сложными процентами применяют правило 72: если процентная ставка есть i, то удвоение капитала происходит примерно за 72/ i лет.

Например, при ставке в 12% удвоение капитала происходит через 6 лет.

 

2.3 Наращение процентов m раз в году.
Номинальная и эффективная ставки

 

В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов.

Пусть годовая ставка равна j, число периодов начисления в году — m. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной. Формула наращения:

,                                          (2.2)

где N= nm — общее количество периодов начисления.

ПРИМЕР 2.5. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн руб. через 3 года при росте по сложной ставке 10% годовых, если проценты начисляются поквартально? Период начисления n = 3 года, количество начислений процентов в течение года m = 4 . Наращенная сумма: .

 

Действительная, или эффективнаяставка процента — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов по ставке j/m. Она измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год.

Обозначим эффективную ставку через i. Множители наращения, рассчитанные по эффективной и номинальной ставкам, должны быть равны друг другу:

.

Отсюда

.

Эффективная ставка при m > 1 больше номинальной.

 Определение номинальной ставки j по заданным значениям i и m :

.

Постоянные Финансовые ренты

Классификация рент

 

1. По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и р-срочные (р — количество выплат в году). В анализе производственных инвестиций иногда применяют ренты с периодами, превышающими год. Такие ренты называют дискретными. В финансовой практике встречаются и с такими последовательностями платежей, которые производятся так часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

2. По числу раз начислений процентов на протяжении года различают: ренты с ежегодным начислением, с начислением т раз в году, с непрерывным начислением. Моменты начисления процентов необязательно совпадают с моментами выплат членов ренты.

3. По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с одинаковыми размерами члена ренты) и переменные. Члены переменных рент изменяют свои размеры во времени, следуя какому-либо закону, например арифметической или геометрической прогрессии, или несистематично (задаются таблицей). Постоянные ренты — наиболее распространенный вид ренты.

4. По вероятности выплат ренты делятся на верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной уплате, например, при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно. Число членов условной ренты заранее неизвестно и выплата ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Типичным примером условной ренты является пожизненная выплата пенсии. К условным рентам относятся страховые аннуитеты — последовательные платежи в имущественном и личном страховании.

5. По количеству членов различают ренты с конечным числом членов, или ограниченные ренты (их срок заранее оговорен), и бесконечные, или вечные ренты. С вечной рентой встречаются на практике в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что период функционирования анализируемой системы или срок операции весьма продолжителен и не оговаривается конкретными датами. В качестве вечной ренты логично рассматривать и выплаты процентов по бессрочным облигационным займам.

6. По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или даты его заключения), ренты делятся на немедленные и отложенные, или отсроченные. Пример отсроченной ренты: погашение долга в рассрочку после льготного периода.

7. Если платежи осуществляются в конце периодов ренты, то ренты называют обыкновенными, или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо. Иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.

В подавляющем числе практических случаев анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух характеристик: наращенной суммы или современной стоимости потока.

Наращенная сумма — это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Под современной стоимостью потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

Конкретный смысл этих характеристик определяется содержанием его членов или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв и т. д. В свою очередь современная стоимость характеризует приведенные к началу осуществления проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль от реализации проекта и т. п.

Характеристики потока платежей, особенно его современная стоимость, широко применяются в различных финансовых расчетах. Так, без них, например, невозможно разработать план последовательного погашения задолженности, измерить финансовую эффективность проекта, осуществить сравнение или безубыточное изменение условий контрактов, решать многие другие практические задачи.

Допустим, имеется ряд платежей R_t, выплачиваемых спустя время n_t после некоторого начального момента времени. Общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока потока платежей сумму. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставке i, то, обозначив наращенную суму через S, получим:

.

Современную стоимость такого потока находим как сумму дисконтированных платежей:

,

где А — современная стоимость потока платежей,  — дисконтный множитель по ставке i.

 

Классификация ценных бумаг

 

Ценная бумага – это документ, удостоверяющий с соблюдением установленной формы и обязательных реквизитов имущественные права, осуществление и передача которых возможны только при его предъявлении.

Имущественные права на ценную бумагу могут принимать форму отношений займа (при условии, когда привлекаемый капитал является заемным) или отношений совладения (инвесторы становятся совладетелями фирмы, выпустившей ценные бумаги).

С точки зрения финансового анализа наиболее важными являются признаки, от которых существенно зависят доходность, риск, а также особенности налогообложения ценных бумаг. Это тип выраженных в ценной бумаге имущественных прав, срок обращения и статус лица, выпустившего ценную бумагу.

Дадим классификацию ценных бумаг по перечисленным признакам.

 1. По типу выраженных в них прав и отношений ценные бумаги делятся на долговые и долевые ценные бумаги.

Долговые ценные бумаги выражают отношение займа и представляют собой долговые обязательства, гарантирующие их владельцам возврат денежных средств в установленный срок и оговоренной ставкой процентов.

Из определения следует, что долговые ценные бумаги являются активами с фиксированным доходом и фиксированным сроком обращения, которые устанавливаются условиями выпуска ценных бумаг. По окончании срока обращения долговые ценные бумаги погашаются заемщиком, т.е. в дату погашения лицо, выпустившее ценные бумаги выкупает их, возвращая заемные средства владельцам. В течение срока обращения заемщик обязан выплачивать по ним проценты, если это оговорено условиями выпуска ценных бумаг. Невыплата процентов может быть основанием для признания его банкротом. Долговые ценные бумаги могут выпускаться субъектами с любой формой собственности. Основным видом долговых ценных бумаг являются облигации, векселя, депозитные и сберегательные сертификаты. Векселя и депозитные сертификаты выпускаются для привлечения крупных денежных средств у юридических лиц. Для физических лиц предназначены сберегательные сертификаты, которые представляют собой письменные свидетельства банка-эмитента о вкладе денежных средств, удостоверяющие права вкладчиков или их правопреемников на получение по истечении установленного срока суммы вклада и процентов по нему.

Долевые ценные бумаги выражают отношения совладения и предоставляют их владельцу право долевого участия как в собственности, так и в прибыли эмитента. Долевыми ценными бумагами являются акции. В отличие от владельцев долговых ценных бумаг, выступающих в качестве кредиторов, акционеры являются совладельцами компании-эмитента и поэтому предоставляют свой капитал данной компании в бессрочное пользование. Следовательно, акции можно считать «бес­срочными» ценными бумагами, не предусматривающими возврат вложенных средств владельцам ценных бумаг.

2. По сроку обращения ценные бумаги делятся на краткосрочные, среднесрочные, долгосрочные долговые ценные бумаги и «бессроч­ные» долевые ценные бумаги.

3. По статусу лица, выпустившего ценную бумагу, различают такие категории ценных бумаг, как: государственные, муниципальные и частные (корпоративные).

Государственные ценные бумаги выпускаются от имени правительства, несущего по ним ответственность всем имуществом государства. Муниципальные ценные бумаги выпускаются от имени местных органов управления и имеют конкретное залоговое обеспечение в виде объектов муниципальной собственности. Государственные и муниципальные ценные бумаги являются долговыми обязательствами. С целью повышения привлекательности для инвесторов по ним могут устанавливаться льготы в налоговом обложении доходов.

Ценные бумаги, выпускаемые всеми прочими субъектами хозяйствования (предприятиями, организациями, акционерными обществами), относятся к частным (или корпоративным) ценным бумагам. Акционерные общества могут выпускать как акции, так и облигации. Частные бумаги иных эмитентов представляют собой долговые обязательства с различными сроками погашения и схемами получения дохода.

3. По форме существования различают ценные бумаги в виде отпечатанных на бумаге бланков и в виде записей на счетах. В виде отпечатанных на бумаге бланков выпускаются, как правило, ценные бумаги, требующие указания на бланках специальных реквизитов, например векселя и депозитные сертификаты. Ценные бумаги в виде записей на счетах обычно «хранятся» на специальных счетах депо компьютерных систем, открытых на имя владельцев в так называемых депозитариях (централизованных хранилищах) ценных бумаг, либо учитываются в специальных реестрах держателей ценных бумаг. Существование ценных бумаг в виде записей на счетах является более надежной формой, исключающей возможность утраты и подделки ценной бумаги. Независимо от формы существования ценных бумаг, их владельцы, как правило, получают на руки не сами бумаги, а документы (сертификаты, свидетельства и т.п.), подтверждающие право на владение ценными бумагами.

4. По способу реализации имущественных прав владельцев различают ценные бумаги: на предъявителя, именные и ордерные. Для реализации имущественных прав, связанных с владением ценной бумагой на предъявителя, достаточно ее предъявления. В случае именной ценной бумаги необходима регистрация имени владельца в реестре держателей ценных бумаг и на бланке сертификата ценной бумаги. Передача именной ценной бумаги другому владельцу отражается изменением соответствующей записи в реестре. Ордерные ценные бумаги (например, векселя, депозитные и сберегательные сертификаты коммерческих банков) - это долговые ценные бумаги, которые выпускаются в виде отпечатанных на бумаге бланков и предполагают возможность их передачи новому владельцу в соответствии с распоряжением прежнего владельца. Передача ордерной ценной бумаги сопровождается указанием специальных реквизитов на бланке ценной бумаги (передаточной надписи для векселей и двухстороннего соглашения об уступке прав для депозитных и сберегательных сертификатов).

6. По процедуре выпуска ценные бумаги делятся на эмиссионные и не эмиссионные. Эмиссионные ценные бумаги (акции, облигации, депозитные и сберегательные сертификаты) выпускаются едино­временно в большом количестве и имеют в рамках одного выпуска одинаковые свойства. Не эмиссионные ценные бумаги выпускаются отдельными экземплярами. По отношению к ним следует употреблять более общий термин «выпуск» или «выписка» (для векселей).

Рис. 10. Выбор оптимального портфеля с учетом предпочтений инвестора, задаваемых кривыми безразличия

 

Пусть портфели, соответствующие различным уровням притязаний инвестора, описываются кривыми безразличия I ₁, I ₂, I ₃.

Фронту эффективных портфелей соответствует отрезок G - A. Портфели, принадлежащие кривой безразличия I ₁ являются недостижимыми. Среди достижимых и приемлемых портфелей эффективными являются портфели А, С, D. Оптимальным и более эффективными из них являются портфель С, так как лежит на кривой безразличия I ₂, что выше и левее кривой I ₃.

6  

Введение

Финансовая математика – это осуществление расчетов по результатам и эффективности депозитных и кредитных операций, операций на рынках ценных бумаг и оценке инвестиционных проектов.

Предметом финансовой математики являются приложения количественного финансового анализа, который применяется как в условиях определенности, так и неопределенности.

К основным задачам финансовой математики относятся:

— измерение конечных финансовых результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон;

— разработка планов выполнения финансовых операций, в том числе планов погашения задолженности;

— измерение зависимости конечных результатов операции от основных ее параметров;

— определение допустимых критических значений этих параметров и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий операции.

Методы, применяемых в финансовой математике, необходимы при непосредственной работе в сфере финансов и кредита, на этапе разработки условий контрактов, при расчетах в личном страховании, при анализе состояния пенсионных фондов.

Простые проценты

Проценты, виды процентных ставок

Под процентными деньгами или процентами, понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т.д.

Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени — отношение дохода (процентных денег) к сумме долга. Она измеряется в виде десятичной или обыкновенной дроби или в процентах. При выполнении расчетов процентные ставки обычно измеряются в десятичных дробях.

В финансовом анализе процентная ставка применяется как измеритель степени доходности (эффективности) любой финансовой, кредитной, инвестиционной или коммерческо-хозяйственной деятельности вне зависимости от того, имел место или нет факт непосредственного инвестирования денежных средств и процесс их наращения.

Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодомначисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

Проценты согласно договоренности между кредитором и заемщиком выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к основной сумме долга (капитализация процентов). Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращением, или ростом, этой суммы. В этом случае процентные ставки называют ставками наращения.

При дисконтировании (сокращении) сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта (скидки). Соответственно говорят, что применяют дисконтные, или учетныеставки.

В финансовой литературе проценты, полученные по ставке наращения, принято называть декурсивными, по учетной ставке — антисипативными. Декурсивные проценты в большинстве случаев называют просто процентами.

Для начисления простых процентов применяют постоянную базу начисления. Когда за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, используют сложныепроцентные ставки.  В этом случае база начисления последовательно изменяется, то есть проценты начисляются на проценты.

Процентные ставки могут быть фиксированными (в контракте указываются их размеры) или плавающими. В последнем случае указывается не сама ставка, а изменяющаяся во времени база (базовая ставка) и размер надбавки к ней — маржи. Размер маржи определяется рядом условий, финансовым положением заемщика, сроком кредита и т.д. Она может быть постоянной или переменной на протяжении срока ссудной операции.

При последовательном погашении задолженности возможны два способа начисления процентов. Согласно первому процентная ставка (простая или сложная) применяется к фактической сумме долга. При втором способе, который применяется в потребительском кредите, простые проценты начисляются сразу на всю сумму долга без учета последовательного его погашения.

В практических расчетах применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные интервалы времени (год, полугодие и т.д.). Если наращение или дисконтирование производится непрерывно, за бесконечно малые промежутки времени, применяют непрерывные проценты. Они используются в аналитических и теоретических финансовых расчетах.