Качественные показатели (признаки) – это показатели, которые нельзя измерить точно (количественно), но с помощью которых можно сравнивать объекты между собой по степени улучшения или ухудшения этого показателя, то есть ранжировать (упорядочивать) объекты.
Для оценки тесноты связей качественных признаков используются следующие показатели.
1. Коэффициент ассоциации ( 
). Он применяется для оценки тесноты связи между двумя альтернативными показателями (признаками).
Пусть провели n наблюдений за двумя признаками А и В и получили таблицу результатов ( 
):
|
Признак В | Признак А | |
| да | нет | |
| да | n1 | n2 |
| нет | n3 | n4 |
Для оценки степени тесноты связи между такими показателями используют коэффициент ассоциации 
:
. При этом –1 
+1.
2. Коэффициент контингенции характеризует тесноту связи между двумя альтернативными показателями на основе формулы:
.
Пример 4.4. Из 82 студентов специальности, проживающих в общежитии, научно–исследовательской работой занимаются 54. Из 169 студентов специальности, не проживающих в общежитии, НИР занимаются 65. Имеется ли взаимосвязь между проживанием в общежитии и занятием научно–исследовательской работой?
Решение. Вычислим коэффициент ассоциации и коэффициент контингенции для имеющихся данных.
Имеем: 
Вывод: наблюдается средняя положительная корреляция между проживанием в общежитии и занятием НИР.
3. Ранговые коэффициенты Спирмена и Кендалла оценивают степень тесноты связи между двумя ранговыми (качественными, порядковыми) показателями.
Ранговые показатели – это качественные показатели, с помощью которых можно сравнивать объекты между собой по степени улучшения или ухудшения этого показателя, т.е. ранжировать (упорядочивать) объекты.
Пусть имеем n объектов, которые характеризуются двумя качественными показателями А и В. Проранжируем объекты в порядке ухудшения качества по показателю А и присвоим объектам ранги xi, равные их порядковому номеру в этом ряду, т.е. xi = i. Затем при данном расположении объектов припишем ранг 
по признаку В. Тогда ранговый коэффициент корреляции Спирмена вычисляется по формуле
.
Допустим, что справа от 
имеется 
рангов, больших чем 
, а справа от 
– 
рангов, больших чем 
, ... , справа от 
– 
рангов больших, чем 
. Тогда ранговый коэффициент корреляции Кендалла вычисляется по формуле
Оба коэффициента по модулю не больше единицы и при больших n между значениями rc и rk наблюдается определённое соотношение
rk/rc » 2/3.
Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена ( 
) осуществляется с использованием Т–критерия Стъюдента
.
Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Кендалла ( 
) осуществляется с использованием критерия, приводящего к нормальному закону распределения
.
Пример 4.5. На конкурсе инвестиционных проектов 11 участников получили следующие оценки (по стобальной системе) за экологичность (экологическую безопасность) и экономическую обоснованность расчётов:
| № проекта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| Экологичность | 70 | 66 | 89 | 60 | 75 | 78 | 53 | 52 | 55 | 59 | 90 |
| Экономическая обосноснованность | 73 | 53 | 85 | 55 | 78 | 89 | 63 | 64 | 65 | 51 | 75 |
Связаны ли между собой экологичность и экономическая обоснованность расчётов?
Решение. Тесноту связи между экологичностью и экономической обоснованностью расчётов определим с помощью ранговых коэффициентов корреляции. Ранжируем участников конкурса:
| № участника | 11 | 3 | 6 | 5 | 1 | 2 | 4 | 10 | 9 | 7 | 8 |
Ранг за экологичность, 
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
Ранг за экон. обосн., 
| 4 | 2 | 1 | 3 | 5 | 10 | 9 | 11 | 6 | 8 | 7 |
Вычислим ранговый коэффициент Спирмена:
Справа от 
имеется 
рангов больших, чем , справа от 
имеется 
рангов больших, чем 
.
Аналогично находим:
Вычислим ранговый коэффициент Кендалла:
.
Оценим значимость вычисленных коэффициентов Спирмена и Кендалла при уровнях значимости 
Проверка гипотезы о значимости коэффициента ранговой корреляции Спирмена ( 
) осуществляется с использованием 
– критерия Стьюдента. Вычислим наблюдаемое значение критерия:
Для различных уровней значимости по таблице квантилей – критерия Стьюдента найдём критические точки.
;
При 
;
При 
;
При 
.
При уровнях значимости 
и 
данные противоречат гипотезе о незначимости коэффициента Спирмена, т.е. между техникой и артистизмом есть связь, а при уровне значимости 
нет оснований отвергать гипотезу и полученный коэффициент незначим.
Проверим значимость коэффициента ранговой корреляции Кендалла ( 
).
Вычислим наблюдаемое значение критерия:
Для основных уровней значимости с помощью функции Лапласа найдём критические точки для двухсторонней критической области:
.
При 
;
При 
;
При 
.
При уровнях значимости и данные противоречат гипотезе о незначимости коэффициента Кендалла, т.е. между экологичностью и экономической обоснованностью расчётов есть связь (это характеризует качество всего проекта), а при уровне значимости нет оснований отвергать гипотезу и полученный коэффициент не значим.
4. Коэффициент конкордации – характеристика связи (согласованности) между несколькими признаками, измеряемыми в порядковой (ранговой) шкале.
Пусть имеется выборка объёмом n из m–мерной генеральной совокупности Х = (Х1, Х2, …, Хm), признаки (показатели) Хj которой можно измерить в порядковой шкале.
Имеем 
– ранги i–го наблюдения (члена) вариационного ряда j–го признака (i = 1, 2, ... , n; j = 1, 2, ... , m).
Если при ранжировании имеются совпадающие наблюдения, например, подряд в вариационном ряду идут l одинаковых значений признака Хj, то вместо обычных рангов, определяемых в вариационном ряду, приписывают каждому из этих одинаковых значений одно и то же число, равное средней арифметической их рангов. Такие полученные ранги называют объединёнными, или связными, и они могут быть дробными.
Например, имеется ряд величин себестоимости продукции:
2,5; 3,0; 8,5; 9,0; 9,0; 9,0; 9,5; 9,5; 9,6; 9,6.
Ранги этих значений будут следующие:
1; 2; 3; 5; 5; 5; 7,5; 7,5; 9,5; 9,5.
Коэффициент конкордации вычисляется по формуле:
.
Для связных рангов вычисления производят по формуле:
где 
.
Здесь nl – число неразличимых элементов (рангов) в l – й группе признака Xj;
Mj – число таких групп из неразличимых рангов.
Коэффициент конкордации заключён в пределах от 0 до 1.
Для проверки гипотезы (H0: Rk = 0) о значимости коэффициента конкордации вычисляют 
и сравнивают полученное значение с величиной 
.
Пример 4.6. Группа из 5 экспертов оценивает качество однотипной продукции, выпускаемой на 7 предприятиях. Предпочтения экспертов (их ранги) представлены в таблице:
|
Эксперты | Предприятия | ||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| 1 | 1 | 3 | 4 | 2 | 6 | 7 | 5 |
| 2 | 1 | 2 | 5 | 3 | 6 | 4 | 7 |
| 3 | 2 | 1 | 7 | 5 | 6 | 4 | 3 |
| 4 | 1 | 2 | 4 | 6 | 3 | 5 | 7 |
| 5 | 3 | 1 | 5 | 4 | 2 | 6 | 7 |
Взаимосвязаны (согласуются) ли мнения экспертов? Рассчитать коэффициент конкордации и оценить его значимость.
Решение. Вычислим коэффициент конкордации по формуле:
,
где − ранги 
–го наблюдения для 
–го показателя,
− объём выборки,
− количество ранговых показателей (экспертов).
Промежуточное выражение (среднее значение суммы рангов на один элемент):
.
Другие расчёты можно представить в виде таблицы:
| Расчётные величины | Предприятия | Итого | ||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ||
| 8 | 9 | 25 | 20 | 23 | 26 | 29 | 140 |
| –12 | –11 | 5 | 0 | 3 | 6 | 9 | 0 |
| 144 | 121 | 25 | 0 | 9 | 36 | 81 | 416 |
Окончательно получаем значение коэффициента конкордации:
.
Значимость коэффициента конкордации 
проверяется по 
−распределению.
Вычислим наблюдаемое значение критерия:
Критическое значение 
найдём по таблице квантилей 
–распределения по заданному уровню значимости 
и числу степеней свободы 
.
Для различных значений уровня значимости получим следующие критические значения.
Так как 
для всех предложенных величин уровня значимости , то гипотезу 
отвергаем, т.е. коэффициент конкордации 
значим.
Значит, мнение экспертов по оценке качества выпускаемой продукции на предприятиях согласуются.
Зададим вопрос: а при каком значении коэффициента конкордации пришлось бы сделать вывод о несогласованности экспертов при уровне значимости 
?
В этом случае имеем соотношения:
Дисперсионный анализ
В дисперсионном анализе исследуется влияние одного или нескольких качественных показателей на количественный.
Дата: 2019-03-05, просмотров: 443.
