Для точного нахождения доверительных интервалов необходимо знать заранее вид закона распределения СВ Х, тогда как для приближённых методов это не обязательно.
Идея точных методов нахождения доверительных интервалов сводится к следующему.
Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит интересующая нас оценка.
Закон распределения оценки в общем случае зависит от самих неизвестных параметров СВ Х. Однако иногда удаётся перейти в неравенствах от случайной величины к какой–либо другой функции имеющихся значений , закон которой зависит только от числа опытов n и от вида закона распределения СВ Х.
Такого рода СВ играют большую роль в математической статистике.
Наиболее подробно они изучены для некоторых параметров нормального распределения случайной величины Х.
Например, доказано, при нормальном распределении случайной величины Х величина подчиняется закону Т – распределения Стьюдента с (n – 1) степенями свободы.
Доказано также, что при нормальном распределении СВ Х величина подчиняется закону c 2– распределения с (n – 1) степенями свободы.
Покажем, как можно использовать эти особенности при построении доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии .
Выберем e так, чтобы выполнялось условие для математического ожидания
Перейдём в левой части этого соотношения от случайной величины к величине Т, подчиняющейся закону Стьюдента.
Для этого умножим обе части неравенства на положительную величину .
Получим
С учётом чётности распределения Стьюдента и обозначения
можно заключить, что
.
Параметр определяется по таблице квантилей Т–распределения Стьюдента.
Окончательно для математического ожидания получаем доверительные границы (доверительный интервал):
Получим доверительные границы для дисперсии.
Выразим величину через величину
.
Зная закон распределения величины V (c 2 – распределение с (n–1) степенями свободы), можно найти интервал Iv, в который она попадает с вероятностью Рд.
В силу несимметричности закона c 2 – распределения выбирают интервал Iv так, чтобы вероятности выхода величины V за пределы доверительного интервала вправо и влево были одинаковы и равны (1 – Рд)/2.
Доверительные границы такого интервала можно определить с помощью таблиц квантилей c 2 – распределения:
Имеем соотношения
Окончательно получаем доверительные границы для дисперсии :
где
Пример 1.6. Провели 20 замеров диаметров изготавливаемых штамповкой втулок. Получили следующие значения (в мм): 10,85; 10,41; 11,05; 10,52; 10,43; 11,02; 10,56; 10,73; 10,85; 10,94; 11,00; 10,52; 10,55; 10,79; 11,04; 11,07; 10,84; 10,77; 10,65; 10,92. Требуется найти точечные оценки для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения величины X и построить для них доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности
Решение.
1. Вычислим точечные оценки требующихся параметров
2. По таблице функции Лапласа для находим = 1,282.
Тогда
.
Доверительные границы для математического ожидания:
Доверительный интервал для математического ожидания:
= (10,507; 11,053).
3. Найдём приближённо 80% – й доверительный интервал для дисперсии, считая, что величина X распределена по нормальному закону.
Имеем:
= 1,282.
.
Тогда доверительный интервал для дисперсии будет равен
.
Граница интервала для среднего квадратического отклонения получаются как квадратные корни из соответствующих границ доверительного интервала для дисперсии:
= (0,727; 1,132).
4. Найдём точный доверительный интервал для математического ожидания, считая X нормальной величиной.
Имеем
n = n – 1 = 19;
По таблице квантилей Т–распределения Стьюдента при n = 19, находим
.
Отсюда предельная ошибка выборки (точность) для математического ожидания составит величину
.
Доверительный интервал для математического ожидания:
= (10,508; 11,052).
Расхождение точного и приближённого доверительных интервалов незначительное.
Если сохранить точность до второго знака после запятой, то доверительные интервалы, найденные точным и приближённым методами, совпадают:
= (10,51; 11,05).
5. Найдём точный доверительный интервал для дисперсии, считая X нормальной величиной.
Имеем
.
Для и при n = n – 1 = 19 по таблице квантилей хи–квадрат распределения находим, соответственно:
;
.
Тогда
.
6. Соответствующий доверительный интервал для среднего квадратического отклонения:
= (0,794; 1,217).
Дата: 2019-03-05, просмотров: 320.