Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Институт ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Кафедра основ инженерного проектирования

 

Т. О. Карклина

 

 

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Конспект лекций

 

 

Санкт-Петербург

Изд-во ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова

2017

УДК

ББК

 

Кандидат технических наук, доцент В. Я. Готлиб

 

 

       Карклина Т.О.

       Начертательная геометрия. Конспект лекций: учебно-методическое пособие / Т.О.Карклина. - СПБ.: Изд-во ГУМРФ им. адм. С. О. Макарова, 2017. — 75 с.

 

 

       Излагаются разделы начертательной геометрии, входящие в дисциплину «Начертательная геометрия. Инженерная графика».

       Учебно-методическое пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения следующих направлений подготовки:

23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов».

26.03.02 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры»

 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»

 08.03.01 «Строительство»

 20.03.02 «Природообустройство и водопользование»

26.03.01. «Управление водным транспортом и гидрографическое обеспечение судоходства».

 

Рецензент:

Готлиб В.Я., канд. техн. наук, доцент (ФБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С.О.Макарова»).

 

© ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова», 2017

© Т. О. Карклина, 2017

 

Предмет начертательной геометрии

 

Начертательная геометрия, как и другие разделы математики, входит в число фундаментальных дисциплин, составляющих основу инженерного образования.

Предметом начертательной геометрии является обоснование методов построения изображений пространственных форм на плоскости и способов решения геометрических задач по заданным изображениям этих форм.

Начертательная геометрия вызывает усиленную работу пространственного воображения, а также передает ряд своих выводов в практику выполнения технических чертежей, обеспечивая их выразительность и точность.

Правила построения изображений в начертательной геометрии основаны на методе проекций.

Рассмотрение метода проекций начинают с построения проекций точки, так как любая пространственная форма рассматривается как ряд точек.

 

Проекции центральные

При центральном проецировании задаётся плоскость проекций (обозначается строчными буквами греческого алфавита  и другими ) и центр проекций – точка (обозначается прописными буквами латинского алфавита – A, B, … S и т.д.), не лежащая в данной плоскости (рис.1.).

Взяв некоторую произвольную точку в пространстве (например (∙) А), проведем через неё и центр проекций S прямую до пересечения с

плоскостью проекций ₀. Получим А⁰ – проекцию точки А на плоскость ₀. Так же  поступим с произвольными точками в пространстве В и С.

В⁰, С⁰  - центральные проекции (∙) В и (∙) С на плоскость ₀.

Но в данном случае, имея проекцию точки, нельзя однозначно определить положение самой точки в пространстве, так любая точка, лежащая на проецирующей прямой SA, проецируется в А⁰. Для единственного решения необходимы дополнител ьные условия.

 

Проекции параллельные

Если принять, что центр проекций бесконечно удалён от плоскости проекций, то проецирующие прямые будут параллельны между собой. Для их проведения должно быть указано некоторое направление (рис.2)

 

 

Следовательно, параллельной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций.

Существуют правила, распространяющиеся как на центральное проецирование, так и на параллельное:

1. Для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случае служит плоскость, потому прямая проецируется в виде прямой;

2. Каждая точка и линия в пространстве имеют единственную свою проекции;

3. Каждая точка на плоскости может быть проекцией множества точек;

4. Каждая линия на плоскости может быть проекцией множества линий;

5. Для построения проекций прямой достаточно спроецировать две её точки;

6. Если прямая параллельна направлению проецирования, то её проекция является точкой;

7. Отрезок прямой, параллельный плоскости проекций, проецируется в натуральную величину.

 

 

Метод Монжа

Метод параллельного ортогонального проецирования был развит в трудах французского учёного Монжа.

Гаспар Монж (1746-1818) – крупный геометр и государственный деятель периода правления Наполеона. Его труд по начертательной геометрии долго не публиковался, так как имел большое практическое значение для выполнения чертежей военных объектов, и увидел свет только в конце 18 века. Изложенный Монжем метод параллельного ортогонального (т.е., прямоугольного) проецирования до сих пор остается основным методом составления технических чертежей, обеспечивая выразительность, точность и удобоизмеримость предметов на плоскости.

 

 

Прямые частного положения

Наряду с прямыми общего положения существуют прямые, расположенные особым образом относительно плоскостей проекций. Их называют прямыми частного положения и подразделяют на следующие виды:

 

Прямые,  параллельные одной из плоскостей проекций:

Горизонтальная прямая (рис.8) – это прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций ₁. Её фронтальная проекция всегда параллельна оси ОХ, а горизонтальная представляет собой натуральную величину отрезка.

 

 

Фронтальная прямая (рис.9) – это прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций. Её горизонтальная проекция всегда параллельна оси ОХ, а фронтальная равна натуральной величине заданного отрезка.

Профильная  прямая (рис.10) – это прямая, параллельная профильной плоскости проекций. Её профильная проекция представляет собой натуральную величину, а горизонтальная и фронтальная всегда перпендикулярны оси ОХ.

 

 

Прямые,  параллельные двум плоскостям проекций:

Горизонтально-проецирующая прямая (рис.11) – это прямая, параллельная фронтальной ₂ и профильной ₃ плоскостям проекций и перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций. При этом на плоскость ₁  она проецируется в точку. Фронтальная  и профильная проекции  прямой являются натуральной величиной отрезка прямой.

Фронтально-проецирующей прямой (рис.12) называется прямая, параллельная горизонтальной ₁ и профильной ₃ плоскостям проекций и перпендикулярная фронтальной плоскости проекций ₂. При этом её горизонтальная и профильная проекции представляют собой натуральную величину отрезка, а фронтальная является точкой.

 

 

Профильно-проецирующая прямая (рис.13) – это прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций ₃ и параллельная горизонтальной ₁ и фронтальной ₂  плоскостям проекций.  При этом на профильную плоскость проекций она проецируется в точку, а на две другие – в свою натуральную величину.

 

 

Следы прямой

Горизонтальным (фронтальным, профильным) следом прямой называется точка пересечения прямой с горизонтальной (фронтальной, профильной) плоскостью проекций (рис.17).

 

 

На рис. 17 изображен отрезок прямой общего положения АВ и три его проекции А'В', А"В", А"'В"'. Продолжив отрезок до пересечения с горизонтальной плоскостью проекций ₁, получим точку пересечения Н, которая является горизонтальным следом прямой АВ. Как любая точка в системе ортогонального параллельного проецирования, она будет иметь три проекции. Найдем их, помня о том, что точка Н помимо всего прочего лежит на прямой АВ, а, следовательно, каждая её проекция должна находиться на одноимённой проекции прямой. Таким образом получим Н"ЄА"В" и ЄОХ, Н"'ЄА"'В"' и ЄОY. Горизонтальная проекция Н' совпадает с самим следом Н, так как по определению НЄ плоскости ₁.

 

 

Аналогичным образом рассуждаем при построении фронтального и профильного следов и их проекций.

Алгоритм построения следов прямой (рис.18):

1. Находим точку пересечения фронтальной проекции прямой (или её продолжения) с осью Х. В этой точке находится фронтальная проекция горизонтального следа Н".

2. Из точки Н" восстанавливаем перпендикуляр к оси Х до пересечения с горизонтальной проекцией прямой. В точке пересечения получим горизонтальный след прямой Н и его горизонтальную проекцию Н'.

3. Находим точку пересечения горизонтальной проекции прямой с осью Х, получив в этой точке горизонтальную проекцию фронтального следа F'.

4. Из точки F' восстанавливаем перпендикуляр к оси Х до пересечения с фронтальной проекцией прямой. В точке пересечения получаем фронтальный след прямой F и его фронтальную проекцию F".

5. Находим точку пересечения фронтальной проекции прямой с осью Z. В этой точке будет находиться фронтальная проекция профильного следа Р".

6. Из точки Р" восстанавливаем перпендикуляр к оси Z до пересечения с профильной проекцией прямой. В точке пересечения получим профильный след прямой Р и его профильную проекцию Р"'.

7. Находим недостающие проекции следов Н"', F"', Р', помня о том, что это точки, лежащие на прямой АВ, а следовательно каждая их проекция находится на соответствующей проекции прямой.

8. Определяем октанты, через которые проходит прямая и устанавливаем её видимость (прямая считается видимой только в I октанте).

     Прямая общего положения имеет три следа (точки пересечения с каждой из трех плоскостей проекций).

Прямая не будет иметь следа на плоскости проекций в том случае, когда она параллельна этой плоскости. Поэтому прямая может иметь два следа в случае, если она параллельна одной из плоскостей проекций, и один след в том случае, когда она параллельна сразу двум плоскостям проекций, при этом по отношению к третьей она будет располагаться перпендикулярно и проецироваться на нее в точку.

Рассмотрим случай,  когда прямая занимает в пространстве частное положение, например, является профильной прямой, т.е. расположена параллельно профильной плоскости проекций. Такая  прямая будет иметь только горизонтальный и фронтальный следы.

 На рисунке  19 приведено пространственное изображение такой прямой и ее следов:  горизонтального Н и фронтального F, а так же их проекций  (горизонтальная проекция горизонтального следа Н', фронтальная проекция горизонтального следа Н", профильная проекция горизонтального следа Н"', горизонтальная проекция фронтального следа F', фронтальная проекция фронтального следа F", профильная проекция фронтального следа F"').

 

Рис.19. Следы профильной прямой в аксонометрии.

 

   

   На рисунке 20 показано построение следов профильной прямой. Построение начинается с определения профильных проекций следов H''' (горизонтального) и F''' (фронтального). Профильная проекция горизонтального H''' следа находится там, где профильная проекция прямой  А'''B''' пересекает ось y, а профильная проекция фронтального F''' следа находится в пересечении профильной проекции прямой A'''B''' с осью z.  Затем  находим положение остальных проекций следов и самих следов, помня о том, что след прямой это точка,  причем принадлежащая заданной прямой. Поэтому она подчиняется всем законам принадлежности точки заданной прямой, а именно – соответствующая проекция точки лежит на соответствующей проекции прямой по линиям связи (F" Є А"В", Н' Є А'В').

 

 

Рис.20. Следы профильной прямой на эпюре.

 

Следы плоскости

       Наиболее наглядный способ задания плоскости - следами.

       Следы плоскости – это линии, по которым плоскость пересекается с плоскостями проекций. Соответственно у плоскости общего положения (это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций) имеется три следа – горизонтальный, фронтальный и профильный. На чертеже они обозначаются следующим образом: h₀  - горизонтальный след плоскости; f₀  - фронтальный и p₀  - профильный (рис.24).

а)	б)
Рис. 24. Следы плоскости общего положения: а) в аксонометрической проекции; б) на эпюре

       Плоскость, заданную любым из перечисленных выше способов, можно преобразовать в плоскость, заданную следами.

       Предположим, плоскость β задана пересекающимися прямыми (рис.25). Для построения прямой, по которой плоскость β пересечет горизонтальную плоскость проекций ₁ (т.е. горизонтального следа плоскости h_0β), достаточно найти две точки, которые одновременно принадлежали бы плоскости β и плоскости ₁. Такими точками будут горизонтальные следы прямых m и n, соответственно Н _m , Н_n.

 

 

Рис. 25. Преобразование плоскости, заданной пересекающимися прямыми, в плоскость, заданную следами

 

Соединив точки Н_m и Н_n  получим горизонтальный след плоскости h_0β. Для построения фронтального следа плоскости найдём фронтальный след прямой m - F_m и фронтальный след прямой n - F_n. Соединив полученные точки (F_m  и F_n), получим фронтальный след плоскости f_0β.

х_0β – точка пересечения следов (f₀  и f_0β ) на оси Х, называемая точкой схода следов.

Угол между следами на чертеже не равен углу между следами в пространстве ( это видно из рассмотрения трёхгранного угла на рис.24 а) и б)).

Линии уровня

К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, относятся горизонтали, фронтали и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций, их называют линиями уровня.  Линию наибольшего наклона к плоскости ₁ называют линией наибольшего ската плоскости  С, её проекции С' и С" (рис. 34).

Горизонтали плоскости h (проекции h' и h") – линии, лежащие в ней и параллельные горизонтальной плоскости проекций ₁.

Фронтали плоскости f (проекции f' и f") – линии, лежащие в ней и параллельные фронтальной плоскости проекций ₂.

Рис. 34 Линия уровня в плоскости

 

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций ₁, ₂, ₃ называют прямые, лежащие в ней и перпендикулярные к горизонталям, фронталям или профильным прямым плоскости соответственно.

Линия наибольшего ската плоскости – линия, лежащая в плоскости, определяющая угол наибольшего наклона заданной плоскости к горизонтальной плоскости проекций и перпендикулярная к горизонтали. Согласно правилам проецирования прямого угла (теорема о проецировании прямого угла), горизонтальная проекция линии ската перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали.

 

Параллельные плоскости

       Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны между собой.

 

Рис. 43 Плоскости, параллельные между собой

 

Например,  плоскость задана треугольником АВС. Через точку М провести плоскость β,  параллельную заданной. Через заданную точку М проведем две пересекающиеся прямые (рис.43), которые определяют собой искомую плоскость β, параллельные сторонам треугольника АВС:  MN║АВ, МК║ВС.

Если два пересекающихся между собой следа одной плоскости параллельны двум пересекающимся следам другой плоскости, то эти плоскости параллельны (рис.44).

Рис. 44 Параллельные плоскости общего положения,

 заданные следами

 

Как построить на эпюре плоскость параллельную заданной (следами) через конкретную заданную точку? Рассмотрим эту задачу на следующем примере (рис. 45). Заданная плоскость альфа является плоскостью общего положения. Через точку А построим плоскость β , параллельную  α . Для этого через точку А проведем горизонталь будущей плоскости ( через фронтальную проекцию точки A” проведем фронтальную проекцию горизонтали  h" параллельно оси  х, а через горизонтальную А' – горизонтальную проекцию горизонтали h' параллельно горизонтальному следу заданной плоскости альфа h_{0 .} Затем найдем фронтальный след построенной горизонтали F_h. Через F_h проведем фронтальный след искомой плоскости f_0β параллельно фронтальному следу заданной f_{0 .} В точке пересечения его с осью х будет находиться точка схода следов плоскости β точка x _ob. Через точку схода проведем горизонтальный след плоскости бэтта h _oβ параллельно горизонтальному следу плоскости альфа h_{0 .}                

Таким  образом плоскости α и β параллельны , так как их одноименные следы параллельны между собой, и плоскость β проходит через точку  А, так как точка А принадлежит горизонтали плоскости.  А как известно, точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости (в нашем случае эта прямая – горизонталь).

 

Рис. 45.Эпюр параллельных плоскостей общего положения, заданных следами.

Если параллельны не пересекающиеся следы плоскостей, то судить об их взаимном положении без дополнительного построения мы не можем. Например,  на рисунке 46 приведены профильно-проецирующие плоскости β и α, у которых фронтальные следы параллельны между собой

 f₀ ║ f_0β, и горизонтальные следы  тоже - h₀ ║ h _oβ. Для того, чтобы определить их взаимное положение, необходимо построить  профильные следы заданных плоскостей  и по их  положению определить взаимное положение плоскостей. Так. На рисунке 46 а) плоскости β и α параллельны между собой, а на рисунке 46 б) они пересекаются

 

а)                                                               б)

Рис. 46 Профильно-проецирующие плоскости:

а) параллельные; б) пересекающиеся

 

Пересекающиеся плоскости

Если хотя бы одна пара следов пересекается, то плоскости пересекаются.

Линия пересечения двух плоскостей вполне определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям (рис.47).  MN – линия пересечения плоскостей общего положения α и β, где точки  М и N являются следами линии пересечения.

Если одна из плоскостей проецирующая (в данном случае плоскость α – горизонтально-проецирующая), то линия пересечения очевидна – это линия 1-2 (рис.48).

Рис.48 Пересечение треугольника горизонтально-проецирующей плоскостью

Если одна из плоскостей (плоскость β) параллельна плоскости ₁ (рис.49),  т.е. горизонтальная,  а вторая  - плоскость общего положения (плоскость α), то линией их пересечения будет горизонталь МN.

 

а)                                                         б)

Рис. 49 Пересечение плоскости общего положения с горизонтальной плоскостью: а) в аксонометрической проекции; б) на эпюре

 

Теперь рассмотрим случай построения линии пересечения двух плоскостей, когда одна из плоскостей α задана следами, а другая β – треугольником АВС. Построение показано на рис.50. Для определения положения линии пересечения К₁  и К₂  заданных плоскостей возьмём две вспомогательные горизонтальные плоскости (γ₁ и γ₂), пересекающие каждую из плоскостей α и β. При пересечении заданных плоскостей плоскостью γ₁ получаем прямые с проекциями А'1', А"1", и h₁' , h₁^".

Эти прямые, расположенные в плоскости γ₁, в своём пересечении определяют первую точку К₁ линии пересечения плоскостей α и β.

Введя далее плоскость γ₂ , получаем в её пересечении с плоскостями α и β прямые с проекциями 2^'3', 2"3" и h₂', h₂". Эти прямые, расположенные в плоскости γ₂, в своём пересечении определяют вторую точку К₂, общую для α и β. Таким образом определена линия пересечения (К₁^'К₂^' – её горизонтальная проекция, К₁^"К₂^" – её фронтальная проекция) заданных плоскостей α и β.

 

Рис. 50 Построение линии пересечения плоскостей

 

 

Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых линий с плоскостью приведено на рис. 51. В качестве плоскостей фигурируют треугольники АВС и DEF.

Прямая К₁К₂ построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника АВС с плоскостью треугольника DEF. Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость α, проведённая через АС, пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 1"2" и 1'2'. В пересечении проекций 1'2' и А'С' получена горизонтальная проекция К₁^'. Затем построена К₁^". Аналогичным образом, используя вспомогательную

 

Рис. 51 Пересечение треугольников

 

фронтально-проецирующую плоскость β, найдены проекции точки К₂^', К₂^". Видимость треугольников определена методом конкурирующих точек.

 

 

Способ вращения

 

    В способе вращения каждая точка перемещается вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения, в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эта плоскость называется плоскостью вращения. Каждая точка вращаемой фигуры перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения, центре вращения. Радиус окружности равен расстоянию от вращаемой точки до центра окружности. Поскольку ось вращения является неподвижной прямой, то все точки, находящиеся на ней неподвижны, в том числе и точки, принадлежащие вращаемой фигуре.

Рис.61 Определение натуральной длины отрезка.

   Ось вращения удобно располагать перпендикулярно одной из плоскостей проекций, при этом построения проще. Так, на рисунке 61 решена задача определения натуральной величины отрезка методом вращения, при этом ось вращения расположена перпендикулярно по отношению к фронтальной плоскости проекций ₂  (поэтому проецируется на нее в точку O”) и проходит через один из концов отрезка, а именно точку А (поэтому точка неподвижна). Для того, чтобы  найти натуральную длину отрезка АВ повернем его вокруг оси О до положения параллельности плоскости _1, т.е. его фронтальная проекция должна быть параллельна оси Х. Тогда горизонтальная проекция   А^lB^l будет представлять собой натуральную величину отрезка. Горизонтальная проекция точки B^l переместится по перпендикуляру к горизонтальной проекции оси вращения O^l.

Рис. 62 Поворот плоскости на заданный угол.

  На рисунке 62  решена задача поворота плоскости, заданной следами вокруг оси на заданный угол против часовой стрелки. Ось вращения расположена перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций ₁ ,

А также принадлежит фронтальной плоскости проекций _2.  Точка, в которой фронтальный след плоскости пересекает ось вращения остается неподвижной. Точка на горизонтальном следе перемещается по радиусу вращения на заданный угол. Горизонтальный след плоскости после поворота остается перпендикулярным по отношению к радиусу вращения, и в пересечении с осью  OХ определяет положение точки схода следов  Х_0α.

 

Рис.63 Определение натуральной величины треугольника.

   Способом вращения также можно определить натуральную величину многоугольника. На рисунке 63 показано определение натуральной величины треугольника АВС вращением его вокруг горизонтали h.     Построение начинается с того, что в плоскости треугольника проводят горизонталь (фронтальная проекция горизонтали h^ll располагается параллельно оси  OХ, а положение горизонтальной проекции горизонтали h^l находят по двум точкам (С и 1), общим для горизонтали и треугольника). Точка  С  будет неподвижной,  так как находится на оси вращения (горизонтали). Точки B^l  и А^l  будут перемещаться по перпендикуляру к оси вращения. Истинную величину радиуса вращения точки B^l найдем способом прямоугольного треугольника. Для определения положения после поворота точки А^l  используем тот факт, что точка 1^l неподвижна, так как лежит на оси вращения, а положение точки B^l  после поворота уже определено.  Проведя прямую через точку B^l  и точку 1^l  до пересечения с перпендикуляром из   А^l  к оси вращения, получим положение точки А  после поворота. Таким  образом, получим натуральную величину треугольника  АВС (заштрихован).

Способ совмещения

   Частным случаем способа вращения является способ совмещения, когда в качестве оси вращения принимают один из следов плоскости, и поворачивают ее вокруг оси до совмещения с плоскостью проекций. На рисунке 64 в качестве оси вращения принят горизонтальный след плоскости h_{0 .} На фронтальном следе выбирается произвольная точка (в данном случае N). Ее горизонтальная проекция N^l  будет находиться на оси Х, так как фронтальный след, а  следовательно и точка на нем принадлежат _2.  Точка N^l  перемещается по перпендикуляру к оси вращения (т.е. к  h₀ ). Центр вращения точки  N^ll  находится в точке схода следов плоскости.  Положение точки N, совмещенное с ₁  определится при пересечении перпендикуляра с дугой вращения. Совмещенное положение фронтального следа определим соединив N с точкой схода следов плоскости.

   Рассмотрим следующую задачу (рис. 65):  в плоскости общего положения α лежит отрезок  АВ.  Нужно определить его натуральную величину методом совмещения, достроить до правильного треугольника и найти горизонтальную и фронтальную проекции построенной точки С.

Рис. 64 Определение положения плоскости после совмещения

 

 В качестве оси вращения принимаем горизонтальный след плоскости  h₀   и поворачиваем плоскость до совмещения с ₁  в указанном на рисунке направлении. Отрезок АВ принадлежит заданной плоскости, так как точки А  и В лежат на горизонталях плоскости. Чтобы найти положение отрезка АВ в совмещенном положении, из горизонтальных проекций концов отрезка A^l и B^l восстанавливаем перпендикуляры к оси вращения (h₀ ). Все точки, лежащие на фронтальном следе, переместятся вместе с ним в _1.  Приняв совмещенное положение отрезка АВ за сторону правильного треугольника, достроим треугольник с помощью циркуля. Горизонтальную и фронтальную проекции точки  С найдем выполняя построения в обратном порядке.

Рис. 65 Определение натуральной величины треугольника, лежащегов плоскости общего положения.

  Если плоскость занимает частное положение в пространстве, например профильно-проецирующая, то построение выполняется так, как показано на рисунке  66. В качестве оси вращение принят горизонтальный след плоскости h_{0 .}  Направление вращения указано на чертеже. Отрезок АВ лежит в плоскости, так как его следы лежат на одноименных следах

Рис.66 Определение натуральной величины треугольника, лежащего в профильно-проецирующей плоскости.

плоскости. Поскольку осью вращения является горизонтальный след плоскости h₀ , а ось вращения неподвижна, то и лежащий на нем горизонтальный след прямой   Н остается неподвижным. Фронтальный же след прямой F переместятся вместе с фронтальным следом плоскости f_0α.  Получив совмещенное с ₁  положение отрезка АВ, достраиваем его до правильного треугольника (приняв его за сторону). Получим точку С. Для того, чтобы найти горизонтальную C^l и фронтальную C^ll  проекции точки, проведем через нее прямую, принадлежащую плоскости, найдем следы прямой Н₁  и F₁ , построим горизонтальную и фронтальную проекции прямой. По линии связи из точки С определим С^l  (она лежит на горизонтальной проекции прямой) и  C^ll  (лежит на фронтальной проекции прямой).

С о д е р ж а н и е

1. Предмет начертательной геометрии. Ошибка! Закладка не определена.

1.1 Проекции центральные. 3

1.2 Проекции параллельные. 4

1.3 Метод Монжа. 4

1.4 Точка в системе двух плоскостей проекций. 5

1.5 Точка в системе трех плоскостей проекций. 6

2. Проекции отрезка прямой линии. Прямые общего и частного положения. 8

2.1 Прямые частного положения. 9

2.2 Взаимное положение двух прямых. 13

3. Следы прямой. 16

4. Определение натуральной величины отрезка методом прямоугольного треугольника 19

5. Проекция плоскости. Следы плоскости. 21

5.1 Следы плоскости. 22

5.2 Плоскости частного положения. 24

5.3 Прямая и точка в плоскости. Главные линии плоскости. 28

5.4 Линии уровня. 30

6. Взаимное положение прямой и плоскости. 31

6.1 Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или двум плоскостям проекций. 32

6.2 Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения. 33

6.3 Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой. 36

6.4 Построение взаимно перпендикулярной прямой и плоскости. 37

7. Взаимное положение плоскостей. 39

7.1 Параллельные плоскости. 39

7.2 Пересекающиеся плоскости. 42

7.3 Построение взаимно перпендикулярных плоскостей. 46

8. Способ перемены плоскостей проекций. 48

9. Способ вращения ………………………………………………………………………..55

10. Способ совмещения…………………………………………………………………… .58

11. Пересечение прямой линии с поверхностью тела…………………………………….61

12. Пересечение плоскости с поверхностью тела…………………………………………64

Библиографический список ………………………………………………………………..67

 

Учебное издание

 

 

Карклина Татьяна Осиповна

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Конспект лекций

Учебно-методическое пособие

 

Институт ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Кафедра основ инженерного проектирования

 

Т. О. Карклина

 

 

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Конспект лекций

 

 

Санкт-Петербург

Изд-во ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова

2017

УДК

ББК

 

Кандидат технических наук, доцент В. Я. Готлиб

 

 

       Карклина Т.О.

       Начертательная геометрия. Конспект лекций: учебно-методическое пособие / Т.О.Карклина. - СПБ.: Изд-во ГУМРФ им. адм. С. О. Макарова, 2017. — 75 с.

 

 

       Излагаются разделы начертательной геометрии, входящие в дисциплину «Начертательная геометрия. Инженерная графика».

       Учебно-методическое пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения следующих направлений подготовки:

23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов».

26.03.02 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры»

 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»

 08.03.01 «Строительство»

 20.03.02 «Природообустройство и водопользование»

26.03.01. «Управление водным транспортом и гидрографическое обеспечение судоходства».

 

Рецензент:

Готлиб В.Я., канд. техн. наук, доцент (ФБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С.О.Макарова»).

 

© ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова», 2017

© Т. О. Карклина, 2017