Следующим этапом после построения математической модели объекта теоретического исследования является выбор и обоснование метода решения полученной модели. Выбор метода решения математической модели во многом определяется ее видом.

Модели, описывающие свойства, состояние объекта исследования, его поведение, обычно представляют собой алгебраическое или трансцендентное уравнение, дифференциальное или интегральное уравнение, или систему таких уравнений и т д. Решение таких моделей может быть осуществлено аналитическими или алгоритмическими методами (рисунок 5).

Аналитическим методом является метод, если при его применении получают отображение связей между выходными и входными параметрами объекта в виде аналитических зависимостей. В аналитических методах выделяют две группы методов: алгебраические, в которых решение математической модели выражено с помощью элементарных функций, и приближенные.

Приближенные аналитические методы основаны на использовании при поиске решения функциональных рядов. Важным достоинством аналитических моделей является то, что они позволяют изучить с малыми вычислительными затратами свойства объекта моделирования, используя хорошо развитые математические методы анализа аналитических функций. Однако применение аналитических методов ограничивается достаточно простыми математическими моделями.

Алгоритмическим методом является метод, который позволяет путем вычислительного эксперимента с моделью объекта получить отображение связей между выходными и входными параметрами объекта в числовой форме, как правило, в виде приближенных значений выходных параметров. При этом представление в аналитической форме зависимости выходных параметров объекта от входных величин остается неизвестным. Среди алгоритмических моделей выделяют численные и имитационные модели.

В численных методах соотношения исходной математической модели путем дискретизации заменены конечномерным аналогом, в котором исходные функции непрерывного аргумента представлены функциями дискретного аргумента. Далее разрабатывается вычислительный алгоритм, т. е. последовательность арифметических и логических операций, выполняемых на ЭВМ и позволяющих за конечное число шагов получить решение дискретной задачи. Найденное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.

В отличие от численных моделей в имитационных моделях дискретизации подвергается не исходная математическая модель, а сам объект исследования. В нем выделяют его отдельные элементы, и составляется алгоритм, моделирующий взаимодействие друг с другом моделей выделенных элементов и объекта, как системы, в целом. Модели отдельных элементов могут быть и аналитическими, и алгоритмическими.

Важным достоинством алгоритмических методов является возможность решения этими методами практически любых математических моделей.

Вероятностно-статистические методы используются при исследовании случайных, вероятностных (стохастических) процессов.

При разработке математических моделей всегда возникает вопрос, насколько однозначно определены параметры, в терминах которых выполняется математическое описание самого моделируемого объекта и связей между его параметрами. Решение этого вопроса осуществляют еще на концептуальной постановке задачи моделирования, где определяют для каждого параметра, можно ли считать его однозначно определенным (детерминированным) или является, по своей физической природе, случайной величиной. Если исследуемый объект характеризуется случайными величинами, приходится анализировать случайные, вероятностные (стохастические) связи, в которых каждому значению аргумента соответствует множество значений (распределение) функции.

Различают стохастическую и статистическую модели объекта моделирования и, соответственно, стохастическую и статистическую задачи моделирования. В стохастической модели для параметров, которым присуща случайность, известны или могут быть получены к моменту их использования статистические характеристики: закон распределения, математическое ожидание и дисперсия. Статистическая модель является частным случаем стохастической модели. В ней используются только выборочные оценки математического ожидания и дисперсии параметра, обладающего случайностью.

При исследовании вероятностных систем широкое применение получили корреляционный, регрессионный и дисперсионный анализы. Корреляционный анализ позволяет установить наличие или отсутствие связей между параметрами и факторами исследуемого объекта, вид этих связей (линейный нелинейный). С помощью регрессионного анализа осуществляют построение

эмпирической зависимости (уравнения регрессии) этой связи.

Дисперсионный одно- и многофакторный анализ применяют для выявления основных факторов и их влияния на исследуемый процесс.

Контрольные вопросы по теме 5

1. Что являются целью и задачами теоретических исследований? Перечислитеэтапы, выполняемые при теоретических исследованиях объекта.

2. Поясните принципы (системности и др.) системного подхода в теоретических исследованиях.

3. Поясните свойства объекта исследования, как системы.

4. Что устанавливают с помощью анализа технической системы? Какие простейших элементы могут входить в состав механической системы.

5. Что собой представляет математическая модель объекта исследования на макроуровне, что она отражает?

6. В чем заключается отличие аналитических и численных методов решения математических моделей объектов исследования?

7. Приведите по 2-3 метода из группы аналитических методов, которые применяют при решении дифференциальных уравнений и интегралов.

8. Что собой представляют вероятностно-статистические методы исследований, и при решении каких задач их применяют?

9. Какие статистические характеристики используются при изучении распределения случайных величин? Поясните эти характеристики.