Предназначение моделей

Наиболее распространенно применение моделей для изучения конкретных явлений и объектов - какова их структура, какие связи существуют между их элементами, какими свойствами обладают элементы и объект в целом, как они взаимодействуют с окружающей средой, законы развития и т. п.

Это обусловлено рядом причин, в частности тем, что некоторые объекты и явления вообще не могут быть изучены непосредственно или экспериментальное их исследование требует весьма больших финансовых затрат или рискованно для человека и/или среды его обитания.

Второе направление использования моделей составляют модели для приобретения знаний и умений по управлению объектом или процессом, определения наилучших способов управления при заданных целях и критериях. Такое направление использования моделей вполне объяснимо, прежде всего, с экономической точки зрения. Например, получить навыки в управлении современным самолетом безопаснее, быстрее и дешевле на тренажере (т. е. модели), чем подвергать себя и дорогую машину риску. Кроме того, любая модель, конечно, не обладает всеми свойствами реального объекта и в этом отношении модель «беднее» объекта-оригинала. В то же время хорошая модель «богаче» реального объекта по предоставляемым исследователю возможностям изучения сложного объекта. Модель позволяет экспериментировать с ней: вводить новые связи между элементами объекта или изменять существующие, изменять свойства элементов и т. п., чтобы понять физическую или иную сущность объекта, его возможности и т. д.

Третье направление использования моделей – это решение задач прогнозирования состояний объекта, прямых и косвенных последствий при реализации тех или иных способов и форм воздействий на объект и его отдельные элементы.

Например, при разработке технологических процессов изготовления деталей, составляющих узлы трения машин и механизмов, желательно уметь прогнозировать изменение надежности функционирования таких узлов в зависимости от методов обработки рабочих поверхностей пар трения.

Этапы построения и реализации математической модели

Объекта исследования

Необходимость создания математической модели может быть связана с проектированием новых изделий, технологических процессов, созданием систем автоматического управления, планирования и контроля, проведением научных исследований. Процесс разработки математической модели трудоемок и связан с привлечением специалистов как в области, в которой возникла задача моделирования, так и в области прикладной математики, численных методов и программирования для ЭВМ.

Решение о создании математической модели принимает специалист той предметной области, в которой возникла проблема исследования объекта – явления, процесса, механизма и т. п. Его принято называть заказчиком. Исполнителем обычно выступает рабочая группа, включающая специалистов разного профиля – математиков, технологов, конструкторов и др.

Вопросы, которые обычно ставят заказчики, например, в области конструкторско-технологической подготовки машиностроительных производств - это вопросы повышения производительности обработки заготовок, увеличения стойкости режущего инструмента, вопросы, связанные с качеством обработки деталей и др. Подготовку списка вопросов, на которые должна ответить новая математическая модель, осуществляет один из специалистов рабочей группы. Его принято называть постановщиком задачи.

Непосредственной постановке задачи моделирования предшествует этап обследования, который включает следующие работы:

· обследование самого объекта моделирования с целью выявления основных факторов, механизмов, влияющих на его состояние, поведение, определение параметров, позволяющих описывать моделируемый объект;

· сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных об объектах-аналогах, проведение при необходимости дополнительных экспериментов;

· аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей данного объекта или подобных ему объектов;

· анализ и обобщение всего накопленного материала, разработка общего плана создания математической модели.

На основе результатов обследования объекта моделирования постановщик задачи совместно с заказчиком формулирует содержательную постановку задачи моделирования, которая в дальнейшем, в процессе разработки модели, может уточняться и конкретизироваться.

Процесс построения и реализации математической модели объекта исследования включает в себя последовательность этапов, приведенных на рисунке 2. Рассмотрим краткое содержание работ, выполняемых на этих этапах.

Постановка задачи математического моделирования объекта исследования на содержательном уровне. Как и в любой задаче, в ее постановке приводится объект исследования, его техническая функция, дается краткое описание объекта; формулируются цели задачи, описываются условия, при которых эти цели должны быть достигнуты, и указывают ограничения, которым должны удовлетворять результаты решения задачи.

Построение концептуальной модели объекта моделирования. Переход от содержательной (технической) постановки задачи к математической, т.е. переход от описания объекта в терминах предметной области к его описанию на языке математических формул и уравнений, во многих задачах связан со значительными трудностями, обусловленными сложностью самого объекта моделирования. В этих случаях, применяя методы системного анализа, разрабатывается концептуальная модель объекта моделирования. Она представляет собой совокупность гипотез и допущений, отражающих существенные с точки зрения цели моделирования свойства объекта, его поведение, взаимодействие с объектами окружающей среды.

На основании принятых гипотез и допущений устанавливается множество входных и выходных параметров, с помощью которых в дальнейшем будет строиться математическая модель объекта. Кроме того, определяются законы и закономерности, характеризующие физическую сущность протекающих в объекте явлений и процессов. При необходимости строится структурная модель объекта, отражающая состав элементов технического объекта, взаимосвязи этих элементов между собой и связи технического объекта, как системы, с окружающей средой.

Полученная концептуальная модель объекта позволяет конкретизировать содержательную постановку задачи моделирования и составляет основу для построения математической модели объекта моделирования.

Разработка математической модели объекта и проверка ее корректности. Учитывая, что математическая модель (ММ) должна отражать важнейшие свойства исследуемого объекта, стремятся создать или выбрать такую ММ, основу построения которой составляет физическая, экономическая, биологическая и т. п. сущность объекта, и является характерной для многих, относящихся к данной предметной области, объектов. Процесс разработки или выбор ММ определяется целями исследования и степенью детализации объекта моделирования, выполненной на этапе построения его концептуальной модели.

При изучении физических явлений и процессов, возникающих и протекающих в объекте, моделирование осуществляется на микроуровне, где объект представлен в виде сплошной среды, взаимодействующей с объектами окружающей среды. При этом разработка ММ осуществляется с использованием математического аппарата теории упругости и пластичности, теплофизики, гидравлики и др. Математическая модель объекта микроуровня представляет собой систему дифференциальных уравнений, с частными производными дополненную уравнениями и неравенствами, описывающими начальные и граничные условия.

Исследование процесса взаимодействия изучаемого объекта, как некоторой системы, с объектами внешней среды проводится моделированием на макроуровне. Заметим, что при разработке концептуальной модели объекта моделирования методом анализа структурного моделирования были установлены состав элементов объекта, их технические функции и математические модели этих элементов. Это позволяет методом синтеза построить полную ММ этого объекта, как единого целого. Она может представлять собой алгебраическое или дифференциальное уравнение, или систему этих уравнений, которые отражают состав элементов системы, законы их функционирования, способы объединения, характер их взаимодействия между собой и взаимодействие самого объекта с окружающей средой.

В случаях, когда математические модели разрабатываются для объектов, в которых используемые параметры являются, по своей физической природе, случайными величинами, то в зависимости от целей моделирования используются методы теории случайных процессов, теории марковских процессов, эвристического программирования, вероятностно-статистические методы. При этом в зависимости от вида объекта (простой или сложный) его математическая модель может представлять собой алгебраическое или дифференциальное уравнение, либо математическую модель на метауровне в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы логических уравнений, системы дифференциальных уравнений Колмогорова и др.

Проверка корректности математической модели включает следующие операции:

1) контроль размерностей величин, используемых в модели и соблюдения правил теории размерности (приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности);

2) контроль порядков величин (при сложении малозначимые величины могут быть исключены);

3) контроль физического смысла, т. е. проверке того, что соотношения между параметрами модели отражают физическую или иную сущность объекта моделирования;

4) контроль характера зависимостей – проверке того, что выходные параметры модели изменяются от входных параметров по соотношениям, вытекающим из математической модели, также как следует из физической сущности изучаемого объекта;

5) контроль экстремальных ситуаций, т. е. выяснению соответствия отражения соотношениями математической модели состояния реального объекта, если входные параметры модели или их комбинации приближаются к предельно допустимым для них значениям, обычно к нулю, единице или бесконечности.

6) контроль начальных и граничных условий, включающий проверку того, что эти условия сформулированы в математической модели и при ее решении выходные параметры удовлетворяют этим условиям;

7) контроль математической замкнутости, состоящий в проверке возможности получения однозначного решения математической модели.

Выбор метода решения математической модели. Выбор метода решения математической модели во многом определяется ее видом. Вместе с тем, при наличии возможности получения решения модели и аналитическим методом, и численным методом предпочитают использовать численный метод. Это объясняется тем, что, как правило, требуется получение результатов решения в числовой форме, что во многих случаях достигается с меньшими трудозатратами численными методами.

Разработка программы решения математической модели на ЭВМ. Успешное выполнение работ по разработке алгоритма и программы его реализации на ЭВМ зависит от уровня владения технологиями программирования, алгоритмическими языками, имеющегося программного обеспечения и т. д.

Проверка адекватности математической модели. Заключается в оценке степени соответствия результатов, полученным по разработанной математической модели, данным эксперимента или тестовой задачи.

Практическое использование математической модели объекта исследования. Полностью определяется целями построения моделей. Они могут использоваться для изучения свойств и особенностей поведения моделируемого объекта, как моделируемые блоки в различных САПР и АСУ (автоматизированных системах управления), при построении оптимизационных моделей и моделей-имитаторов сложных систем и комплексов.

Контрольные вопросы по теме 6

1. Поясните на конкретном примере сущность моделирования изучаемого объекта (устройства, процесса, явления).

2. Чем отличается физическое и аналоговое моделирование, как разновидности материального моделирования?

3. Какому требованию должны удовлетворять основные единицы измерения величин?

4. Что собой представляют константы подобия оригинала и модели? Как устанавливаются их значения?

5. Приведите теоремы подобия, определяющие правила переноса результатов исследования модели на оригинал.

6. С какой целью осуществляют обследование объекта моделирования?

7. Опираясь на знания изученных ранее дисциплин, приведите из них пример постановки технической задачи моделирования объекта на содержательном уровне. Постройте концептуальную модель этого объекта моделирования. Приведите его математическую модель. Произведите проверку корректности математической модели.

8. Выполните проверку размерностей величин полученной математической модели движения тела массой m, брошенного вертикально вверх от Земли массой M

,

в которой r – расстояние между центром Земли и центром тяжести брошенного тела; k – гравитационная постоянная, k = (6,67±0,01)·10¹¹ Н·м²·кг^-2.

9. В чем позволяет убедиться проверка адекватности ММ?