На рис. 170 представлены фронтальные проекции пересекающихся поверхностей вращения: усеченного конуса и тора (кольца).

Поверхности имеют общую главную меридиональную плоскость, являющуюся одновременно и плоскостью симметрии фигур. Поэтому фронтальные проекции поверхностей вращения представляют собой их главные меридианы.

Оси вращения поверхностей являются скрещивающимися прямыми. Причем ось вращения усеченного конуса (i ^к) является профильно-проецирующей прямой, а ось вращения тора (i ^Т) – фронтально-проецирующей прямой.

Задача ограничена построением только фронтальной проекции линии взаимного пересечения поверхностей.

Рис. 170

Рис. 171

Использовать способ вспомогательных секущих плоскостей и способ концентрических секущих сфер для определения положения на чертеже проекций точек кривой взаимного пересечения заданных фигур не представляется возможным.

Так, при пересечении заданных на чертеже поверхностей вращения, например, общей плоскостью, в сечении получаются графически сложные кривые линии при любом её положении.

Способ концентрических секущих сфер здесь неприменим в связи с тем, что оси вращения фигур не пересекаются.

Использование способа эксцентрических секущих сфер предопределяет необходимость выявления наличия для каждой из поверхностей вращения соосной секущей сферы (рис. 171).

Для поверхности усеченного конуса вращения определение положения соосной сферы не вызывает затруднений. Положение центра соосной сферы на чертеже следует из определения соосности двух поверхностей вращения – сфера соосна с конической поверхностью в том случае, когда центр сферы располагается непосредственно на оси вращения конуса. Только в этом случае, в пересечении указанных поверхностей, образуется окружность.

Положение сферы, соосной с поверхностью тора (рис. 172), устанавливают следующим образом.

Известно, что в случае пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через её ось, в сечении образуется меридиан. Меридианом же тора является окружность. Поэтому при пересечении поверхности тора фронтально-проецирующей плоскостью Ө (тэта), проходящей через его ось i ^Т , в сечении образуется окружность.

Фронтальная проекция окружности сечения тора плоскостью Ө (тэта) представляет собой отрезок А₂-В₂. Фронтальная проекция центра окружности сечения располагается в точке С₂, представляющей собой точку пересечения следа Ө₂ секущей плоскости с проекцией траектории движения (вращения) центра меридиана поверхности. Тогда фронтальная О₂ проекция центра соосной сферы, пересекающейся с заданной поверхностью тора по окружности, должна располагаться на прямой l ₂, проходящей через точку С₂ в направлении, перпендикулярном отрезку А₂-В₂.

Выявив наличие соосных сфер для каждой из поверхностей вращения – усеченного конуса и тора, устанавливают (рис. 173) возможность проведения общей для них соосной секущей сферы.

Для этого вначале определяют положение опорных точек 1₂ и 2₂ пересечения главных меридианов поверхностей, ограничивающих положения на чертеже фронтальных проекций произвольных точек кривой взаимного пересечения заданных поверхностей вращения.

Рис. 172

Рис. 173

Рис. 174

Рис. 175

Затем между проекциями опорных точек 1₂ и 2₂ проводят след Ө¹₂ первой секущей фронтально-проецирующей плоскости, проходящей через оси вращения тора i ^Т₂. Проведение вспомогательной секущей плоскости Ө позволяет выявить положение на чертеже центра сферы, соосной с поверхностью тора. Если прямую, на которой должна располагаться фронтальная проекция соосной сферы, продолжить до пересечения с проекцией i ^К₂ – оси вращения усеченного конуса, то появится новая точка О¹₂, представляющая собой теперь уже центр сферы, соосной с каждой из заданных поверхностей вращения.

Подобным приемом графического построения можно определить положение на чертеже некоторого количества центров секущих сфер, соосных с каждой из заданных поверхностей вращения.

Далее (рис. 174) на чертеже из центра О¹₂  радиусом, равным отрезку О¹₂ -15₂, проводят первую соосную секущую сферу. Отмечают точки 18₂ и 19₂ пересечения сферы с главным меридианом усеченного конуса и соединяют их прямой.

Прямые 15₂-16₂ и 18₂ и 19₂ представляют собой фронтальные проекции окружностей сечения каждой из заданных на чертеже поверхностей вращения одной и той же соосной сферой.

В пересечении прямых 15₂-16₂ и 18₂-19₂ выявлены положения проекций 3₂ и 4₂ двух конкурирующих точек. Точки 3 и 4 принадлежат каждой из поверхностей вращения и представляют собой произвольные точки кривой пересечения тора с усеченным конусом.

Подобным образом (рис. 175) определяются на чертеже положения фронтальных проекций некоторого количества произвольных точек кривой пересечения.

Выполненные графические построения свидетельствуют о том, что соосные секущие сферы проводились каждый раз из новых положений своих центров. Проведение соосных секущих сфер из разных центров и предопределило название этого способа – эксцентрических секущих сфер.

Построение горизонтальных проекций точек кривой взаимного пересечения заданных поверхностей, в частности на основании эпюрного признака принадлежности точек поверхности тора, не вызывает особых затруднений.

С целью приобретения практических навыков в построении проекций кривых взаимного пересечения поверхностей вращения Вам предлагается самостоятельно выполнить построения горизонтальных проекций точек.

При этом необходимо иметь в виду, что не все точки кривой пересечения будут видимыми на горизонтальной плоскости проекций. Поэтому вначале необходимо определить положения проекций точек видимости.

Соединив плавной линией одноименные проекции точек, получают фронтальную и горизонтальную проекции кривой пересечения усеченного конуса с тором.

В заключение необходимо отметить, что на последовательность графических построений центров соосных секущих сфер существенным образом влияют вид и расположение на чертеже пересекающихся поверхностей вращения.

3.4. Особые (частные) случаи взаимного пересечения
поверхностей вращения