Основная идея методов подстановки и сложения - преобразовать систему так, чтобы в одном из уравнений осталась одна неизвестная величина. Метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных, опирается на эту же идею.

Запишем систему так, чтобы в первом уравнении при первом неизвестном коэффициент был равен 1. Если в системе есть подходящее уравнение, его можно переставить на первое место, если такого уравнения нет, то обе части первого уравнения можно разделить на коэффициент при первом неизвестном (полагая, конечно, что он отличен от 0). Умножая последовательно первое уравнение на числа, противоположные коэффициентам при первом неизвестном в остальных уравнениях, прибавляем его ко второму, третьему и т.д. уравнениям системы.

После этого во всех уравнениях системы, кроме первого, первое неизвестное будет исключено, т.е. эти уравнения будут содержать на одно неизвестное меньше, да и самих уравнений будет на одно меньше (первое не рассматриваем). Значит, эти уравнения образуют систему уравнений на порядок меньше, чем исходная. С этой системой можно провести такие же преобразования, как на первом этапе и т.д. до тех пор, пока в одном уравнении не останется одно неизвестное. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений

Поменяем местами первое и второе уравнения системы:

Выполним такие преобразования: ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на (-3), к третьему – первое, умноженное на (-2). После выполнения указанных действий система примет вид:

Умножив второе уравнение на (-1), прибавим его к третьему, тогда:

Из последнего уравнения находим , из второго ; из первого . Подстановкой найденных значений во все уравнения исходной системы убеждаемся, что они являются ее решением.

Ответ: .

Пример 2. Решить систему линейных уравнений

Умножая первое уравнение на (-3) и прибавляя ко второму, затем на (-2) и прибавляя к третьему, затем на (-3) и прибавляя к четвертому, преобразуем систему.

Предварительно разделив обе части второго уравнения на (-4), прибавим его к четвертому уравнению, умножив на (-1), прибавим к третьему, тогда:

Разделим обе части третьего уравнения на 12, а четвертого - на 3, затем третье уравнение, умноженное на (-3), прибавим к четвертому, получим:

Из последнего уравнения находим  из третьего ; из второго ; из первого .

Ответ:

Метод Гаусса является универсальным методом решения произвольных систем линейных уравнений.

II .Примеры решения заданий