Пример 2. Вычислить определитель , применяя формулу разложения по элементам второй строки.

Вначале найдем миноры и алгебраические дополнения всех элементов второй строки.

Для

Для

Для

Вычислим определитель по формуле

Можно доказать и следующий факт: сумма произведений всех элементов произвольной строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Например, .

Замечание: из последнего равенства не следует, что сам определитель равен нулю.

Определители четвертого и более высоких порядков вводятся аналогично. Для них остаются справедливы введенные ранее понятия и свойства. Вычисление таких определителей ведется или с помощью приведения их к треугольному виду или разложением по элементам строк (столбцов).

Обратная матрица

    Пусть А – квадратная матрица n-го порядка. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля: . В противном случае  матрица А называется вырожденной.

    Матрица  называется обратной к , если она удовлетворяет условию:

,

где — единичная матрица.

    Докажем, что всякая невырожденная матрица имеет обратную. Проведем доказательство на примере матрицы третьего порядка. Пусть А - невырожденная матрица, с определителем :

.

Каждый элемент матрицы А заменим его алгебраическим дополнением (оно определяется также, как и алгебраическое дополнение элемента определителя) и составим новую матрицу:

.

Транспонируем последнюю матрицу:

.

Выполним умножение:

В полученной матрице-произведении каждый элемент главной диагонали равен , т.к. представляет собой сумму произведений всех элементов соответствующей строки матрицы А на их алгебраические дополнения. Остальные элементы - нули, потому что являются суммами произведений элементов строк матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов других строк. Значит,

.

Аналогично рассуждая, можно показать, что .

Сравнивая полученные результаты с определением обратной матрицы, получаем  или .

    Для того чтобы составить обратную матрицу, необходимо:

1) вычислить определитель матрицы;

2) если определитель отличен от 0, то найти алгебраические дополнения всех элементов;

3) поставив алгебраические дополнения на место элементов, составить матрицу и транспонировать ее;

4) разделить элементы транспонированной матрицы из алгебраических дополнений на величину определителя (если элементы матрицы не делятся нацело на определитель, то деление записывают в виде множителя  перед матрицей).

Пример. Найти матрицу, обратную матрице

                                        .

1) Вычислим определитель .

2) Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:

3) Составим матрицу из алгебраических дополнений :

                                      .

и транспонируем ее:

                                     .

3) Выпишем обратную матрицу:

                                  .

Для проверки найдем произведение :