Лекция №22. Упрощения канонических уравнений метода сил при расчете симметричных рам

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Основная трудность применения метода сил при расчете рам, имеющих большую степень статической неопределимости, связана с определением коэффициентов и решением системы канонических уравнений. При расчете симметричных рам, имеется ряд приемов, позволяющих часть побочных коэффициентов d_ik(i ¹ k) обратить в нуль.

Одним из таких приемов является использование симметрии рамы при выборе основной системы метода сил. Т.е. основную систему необходимо выбрать симметричной, причем постараться, чтобы как можно большее число неизвестных было в виде прямо- и обратносимметричных усилий.

Прямосимметричные неизвестные создают симметричные эпюры моментов, а обратносимметричные неизвестные — кососимметричные эпюры. Результат перемножения таких эпюр:

= 0 .

Ì X₁

X₃ X₃

X₂

I₂

X₁

h I₁ I₁ q

h = 3 О.С.

Единичные и грузовая эпюры имеют вид :

l/2 X₁=1 l/2 1 1

X₂=1

X₁=1 X₃=1 X₃=1

qh²/2

` M₁ `M₂ M₃ M_p

h h

Рис. 1

Тогда в нашем случае d₁₂ = d₂₁= 0 ; d₁₃= d₃₁ = 0 , и система из трех уравнений с тремя неизвестными :

ì d₁₁Х₁ + d₁₂Х₂+ d₁₃Х₃ + D_1Р=0

í d₂₁Х₁ + d₂₂Х₂+ d₂₃Х₃ + D_2Р=0

î d₃₁Х₁ + d₃₂Х₂+ d₃₃Х₃ + D_3Р=0 ,

после подстановки коэффициентов превращается в одно независимое уравнение :

d₁₁Х₁ + D_1Р=0 ;

и систему из двух уравнений с двумя неизвестными :

ì d₂₂Х₂+ d₂₃Х₃ + D_2Р=0

î d₃₂Х₂+ d₃₃Х₃ + D_3Р=0 .

Группировка неизвестных

Часто, при расчете симметричных рам, не удается выбрать основную систему так, чтобы все неизвестные разместились на оси симметрии. Поэтому для получения симметричных и обратно симметричных эпюр приходится в качестве неизвестных применять не отдельные силы, а группы прямо- и кососимметричных сил.

Ì P Ì P

I₂ I₂ y₁ y₂

h I₁

l l h = 2

P 2l X₂=1

X₁ X₁ X₁=1 X₁=1 X₂=1 l

X₂ X₂ `M₁ `M₂

Рис. 2

У₁ = Х₁+ Х₂

У₂= Х₁ - Х₂, d₁₂ + d₂₁ = 0.

таким образом система уравнений:

(2)

преобразуется:

d₁₁X₁+ D_1P = 0;

d₂₂ X₂+ D_2P = 0

Преобразование нагрузки

Любую нагрузку, приложенную к симметричной раме, можно разложить на составляющие симметричного и кососимметричного вида.

q q/2 q/2

Х₂ =0 X₂

X₁ =0 X₁

P P/2 P/2

h = 4 I

q/2 X₄ X₃

q/2

X₃ P/2 X₄ P/2

Сумма двух загружений I + II

дает исходное загружение

При загружении рамы симметричной нагрузкой в симметричных связях будут возникать только симметричные неизвестные усилия, а при загружении обратно симметричной нагрузкой — обратно симметричные усилия (см. рисунок).

Порядок расчета следующий:

1) преобразуют нагрузку в прямо симметричную и обратно симметричную;

2) рассчитывают раму независимо на прямо- и кососимметричное загружение, учитывая при этом, что при прямо симметричном загружении возникают только симметричные усилия в отброшенных связях, а при обратно симметричном загружении — только кососимметричные усилия. Это значительно сократит расчет в каждом варианте загружения. Решения доводят до построения эпюр M^П.С. и M^К.С;

3) окончательную эпюру получают суммированием эпюр, полученных в каждом расчете

M = M^П.С. + M^К.С..

Применение жестких консолей

Пусть требуется рассчитать три раза статически неопределимую раму

а) б) X₂ в)

X₁ X₃

P P P

X₂d

I₁ I₁ h X₁ X₃ X₁

X₂ X₂

l h = 3

Если основную систему метода сил выбрать как показано на рис б, то:

d₁₂ = d₂₁ = 0; d₂₃ = d₃₂ = 0.

Вводя в основную систему рис.в жесткие консоли (т.е. EI = ¥ ), можно добиться чтобы все побочные коэффициенты были равны нулю.

D l/2 l/2 1 1

X₃=1

X₁=1 X₁=1

X₂=1

h-d h-d

При построении эпюр, на жестких консолях эпюры не строятся, т.к. при перемножении их по правилу Верещагина, результат перемножения в пределах жестких консолей необходимо будет разделен на EI = ¥, т.е.

d₁₂ = d₂₁ = 0; d₂₃ = d₃₂ = 0

Чтобы и d₁₃ = d₃₁ = 0 подберем длину жесткой консоли из условия:

Тогда система канонических уравнений примет вид:

Метод упругого центра

Этот метод применяют в основном при расчете статически неопределимых арок и рам, элементы которых имеют переменные жесткости по длине.

Суть этого способа заключается в том, что с помощью специального приема добиваются, чтобы все побочные коэффициенты системы канонических уравнений были равны нулю.

Рассмотрим симметричную 3 раза статически неопределимую раму.

- I_P x X₁ X₃ X₁

X₂ X₂

h I_C + I_C

l y

x X₁= 1 X₂ = 1 X₃ = 1

y x

;

Построим упругий контур

d l

И коэффициенты запишутся:

- центробежный момент инерции упругого контура относительно осей x и y

- статический момент площади упругого контура относительно оси x

- статический момент площади упругого контура относительно оси y.

Статические моменты и центробежный момент инерции равны нулю относительно главных осей, расположенных в центре тяжести сечения.

Следовательно, если неизвестные X₁ ,X₂ ,X₃ приложены в центре тяжести упругого контура, то все побочные коэффициенты системы канонических уравнений будут равны нулю и система запишется:

Чтобы приложить неизвестные в центре тяжести упругого контура, используются жесткие консоли.

В рассмотренном примере:

X₁ X₃ X₁

X₂ X₂

Порядок определения положения центра тяжести упругого контура следующий:

1. на заданной раме строим упругий контур, ширина которого равна ;

2. выбираем систему координат, приняв в качестве одной из осей ось симметрии рамы;

3. находим положение упругого центра:

Порядок расчета рам методом сил

1. Определяют степень статической неопределимости системы:

h = C_ОП + 2Ш₀ - 3D;

или

h = 3K- Ш₀;

2. Выбирают наиболее рациональную основную систему метода сил (с учетом возможных упрощений).

3. Записывают систему канонических уравнений метода сил.

4. Для основной системы строят единичные `M_i и грузовую M_P эпюры моментов.

5. Определяют коэффициенты системы канонических уравнений.

6. Проверяют правильность вычисления коэффициентов (универсальная, построчная и проверка грузовых коэффициентов).

7. Решают систему канонических уравнений и определяют значение неизвестных X₁ ,X₂ ,....,X_n . Правильность решения системы следует проверить подстановкой найденных неизвестных в систему уравнений.

8. Строят исправленные эпюры `M_iX_i

9. Суммируя исправленные эпюры и грузовую, получают результирующую эпюру

10. Проверяют правильность построения эпюры M_РЕЗ:

а) должно выполнятся равенство моментов в узлах;

в) деформационная проверка ( ) = 0.

11. По эпюре M_РЕЗ строят эпюру поперечных сил Q и затем по эпюре Q - эпюру продольных сил N.

12. Выполняется статическая проверка равновесия рамы в целом :

åM_K = 0;

åx = 0;

åy = 0;

в эти уравнения входит заданная нагрузка и опорные реакции, которые берут из эпюр M_РЕЗ , Q, N.

13. В случае необходимости определяют перемещения указанных сечений рамы.

Определение перемещений статически неопределимых систем

Для определения перемещений статически неопределимых систем необходимо вначале построить эпюры M от действия внешней нагрузки и от действия единичной обобщенной силы, приложенной по направлению искомого перемещения. И затем перемножая эпюры по правилу Верещагина, определяют искомое перемещение. При этом грузовую эпюру строят для заданной статически неопределимой системы (решая ее любым из известных методов: метод сил, перемещений и т.д.), а единичную эпюру строят для основной системы метода сил, что значительно упрощает процесс определения необходимых перемещений. Допустимость таких упрощений докажем на примере:

а) б) D_C^ГОР=? в)

q q

C B H_B

I₁ V_B

h I₂

M_РЕЗ

A l

Для заданной рамы эпюра M_РЕЗ показана на рис. б. Если в опоре В отбросить две опорные связи и по направлению отброшенных связей приложить опорные реакции V_B и H_В (см. рис. в), то эпюры моментов и деформации систем, показанных на рис. а и в будут одинаковы, а, следовательно, для определения D_с^гор единичную эпюру можно строить как для заданной (рис. а) так и для основной (рис. в) системы метода сил, т.е.:

P=1

M_P

Дата: 2019-02-19, просмотров: 225.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒