Прежде всего, отметим, что работа над задачами не является разучиванием способов решения. Современные методисты придерживаются мнения, что работа над задачами не должна сводиться к тренингу по решению задач сначала одного вида, потом другого и т.д. Однако ознакомить учащихся с решением задач каждого вида программного минимума учитель обязан.

   В результате знакомства с каждым из видов задач дети должны уметь осознанно устанавливать все возможные связи между данными и искомыми.

   Современная методика предлагает делать это по следующему плану:

1. Пропедевтика (подготовительная работа) к введению задач данного вида.

2. Этап ознакомления с основными способами решения задач данного вида.

3. Этап закрепления умения решать задачи данного вида.

Этап подготовки к введению задач данного вида

Сама пропедевтика к решению задач делится на два этапа – первый и второй (приёмы, выделенные З.П. Матушкиной). На наш взгляд, называть эти направления работы по пропедевтике решения задач одного вида этапами не корректно, т.к. они взаимопроникают друг в друга, часто осуществляются параллельно. Поэтому назовем их направлениями пропедевтики.

Первое направление пропедевтики

Само направление представляет собой набор приемов, которые формируют навыки работы с любой задачей, в начальной школе эта работа проводится на протяжении всего времени работы над задачами. Данный этап можно назвать этапом формирования навыков работы над любой задачей, так как он содержит основные приемы работы над содержанием задачи, оформлением краткой записи.

Приемы, формирующие умение читать текст задачи:

1. Показ образцов правильного чтения задачи.

2. Проведение специальной работы над текстом задачи по усвоению её содержания.

Приемы, формирующие умения выделять условие и вопрос задачи:

1. Выявление условия задачи и её вопроса, переформулировка вопроса задачи (к этому необходимо добавить работу с предметными множествами, рассматриваемыми в данной задаче).

2. Формулирование одного или нескольких вопросов к задаче.

3. Выделение необходимых данных для решения задачи.

4. Составление одной или нескольких задач по вопросу.

Приемы обучения оформлению краткой записи текста задачи:

1. Оформление краткой записи в виде таблицы, схемы, строки, столбца, рисунка, графа, блок-схемы и т.д.

2. Чтение краткой записи задачи, восстановление задачи по ее краткой записи.

3. Составление задачи по её краткой записи.

Учитель обязательно должен показать детям возможные варианты оформления краткой записи задачи, т.к. чаще всего краткая запись оформляется так, как это удобно учителю, т.е. с учетом его индивидуального видения. Многие дети часто не могут решать задачи именно из-за того, что краткая запись, схема, стандартный чертеж не позволяют им увидеть суть, однако, если разрешить им самостоятельно делать рисунки, наброски и т.д., задача становится для них очевидной.

Приемы обучения выполнению чертежей (рисунков) по тексту задачи:

1. Основные требования к оформлению чертежей и рисунков;

2. Чтение рисунка, чертежа, выполненного по задаче.

3. Составление задачи по чертежу, рисунку.

Второе направление пропедевтики

Его сущность состоит в обучении учащихся пониманию всевозможных зависимостей между величинами в данных задачах.

В начальной школе это связи и зависимости, на основании которых выбираются арифметические действия, знание объектов, о которых идет речь в задаче.

При решении простых задач важны связи:

§ операций над множествами и арифметических действий;

§ отношений «больше» и «меньше» с арифметическими действиями;

§ компонентов и результатов арифметических действий;

§ величин в задачах со связками «цена – количество – стоимость», «скорость – время – расстояние» и т.д.

Например, при решении задач на нахождение суммы, остатка дети должны четко представлять себе теоретико-множественную основу решения этих задач, понимать связь операций объединения и удаления части множества с действиями сложения и вычитания.

При решении составных задач от учащихся требуется умение выделять не одну связь между величинами, а систему этих связей, которая поможет ответить на вопрос задачи.

Рассмотрим языковую деятельность, которую должны уметь выполнять учащиеся при анализе содержания задач. Решение задач требует не только чисто математических навыков, но и определенной языковой культуры, в частности умения подойти к формулировке задачи как особому типу текста на естественном языке, т. е. умения решить традиционную лингвистическую проблему – провести анализ текста. Ученик при этом выступает как бы в двух ролях — математика и лингвиста. Чаще всего, в решении задачи языковая деятельность предшествует математической. На уроках математики, которые отводятся задачам, обязательно должно происходить обучение школьников навыкам работы с текстом.

Каждый ученик должен понимать, что «прочитать» задачу это не только воспроизвести ее текст вслух или про себя, но и описать конкретную ситуацию, о которой идет речь в задаче, проследить связи, данные в условии, переформулировать ее, если это необходимо.

Недооценка роли языковых фактов может привести к некорректно поставленной, непонятной, двусмысленной задаче и вызвать у учащихся отрицательное отношение к ней.

Рассмотрим два направления языковой деятельности в анализе задач.

Первое направление. В тексте следует выделять языковые фрагменты, которые являются ключевыми при построении математической модели. В начальной школе такие фрагменты называют ключевыми словами, также называть их можно называть арифметическими элементами (словами, конструкциями и т. д.). Приведем примеры.

Прежде всего, это названия каких-либо величин (имена чисел). Они чаще всего выражены количественными числительными (в цифровой или словесной записи). В обычном языке обозначения чисел бывают и более сложными. Так, они могут быть представлены описательными определениями. (Например: первоначальная цена платья; остальные тракторы; общее число деталей, изготовленных за день).

Если задача решается буквенным выражением, то при построении математической модели необходимо следить, чтобы разным в смысловом отношении ключевым словам соответствовали разные буквы, а синонимичным — одна и та же буква.

Дети должны четко прослеживать равнозначность словосочетаний: количество предметов, которое было сначала – первоначальное число предметов; количество предметов, которое необходимо выпустить по плану – плановое задание – план и т.д.

Важным арифметическим элементом математической модели являются показатели арифметических операций и отношений. Это непосредственные прообразы предикатов в модели. Одно и то же слово в одной конкретной задаче может быть арифметическим, а в другой — неарифметическим.

Например: «Засеяли 1/7 всего поля. Найдите площадь всего поля, если засеяли 5 га» и «Туристы проехали поездом 440 км и на катере 215 км, после чего им осталось проехать на автобусе 26 км и пройти пешком 2 км. Определить длину всего маршрута». В ту и в другую задачу входит слово «всего». Однако оно выполняет различные функции. В задаче о поле его можно пропустить, а смысл задачи останется неизменным. В этом случае слово «всего» выполняет лишь стилистическую функцию. Однако, в задаче о туристах слово «всего» является арифметическим. Оно подсказывает учащимся, что результат находится сложением длин отрезков пройденных путей. Если это слово убрать, то текст задачи становится непонятным. Именно на арифметические употребления слов следует, прежде всего, обращать внимание учащихся при их обучении решению текстовых задач.

Особенно это важно в ситуациях, когда одно и то же слово в различных контекстах имеет разные арифметические значения. Возьмем для примера слово меньше. В одних случаях оно является показателем отношения «меньше», а в других — указывает на операцию сложения или вычитания вместе с ее результатом. Фраза «число а меньше числа b» переводится на язык математических символов как «a<b», а фраза «число а меньше числа b на с» — как «b – a = c» или «b = a+c». Таким образом, данной фразе соответствует не одно равенство «b – a = c», а система «b – a = c, с>0», так что смысл «меньше» при переводе на математический язык сохраняется. Обратим внимание еще и на то, что слово больше в выражении «меньше или равно» может пониматься только в первом смысле: нельзя сказать «меньше или равно на...».

При самостоятельном составлении задачи ученик выступает как бы в двух функциях: стилиста и математика. Неудачное употребление неарифметического слова показывает качество его владения русским языком, а не о математической грамотности, тогда как неверное употребление арифметических слов свидетельствует о каких-то пробелах в математической подготовке учащегося.

Второе направление. В тексте задачи возможно присутствие явных или скрытых кванторов. Кванторы проявляются во фразах «все», «каждый», «всякий», «любой», «какой бы то ни было», «произвольный», «некоторые», «существует», «найдется» и др.

В начальной школе тексты задач обычно не содержат кванторных слов, однако необходимо готовить учащихся к их использованию, пониманию, различению.

На наш взгляд, при работе над текстами задач, имеет смысл давать ученикам задания вида «Найди неточность в тексте задачи, формулировке, определении…». Время, затраченное на работу над языком, не пропадает впустую. Выигрыш состоит в повышении, как математической культуры учащихся, так и их грамотности в широком смысле слова. Часто многие учебники математики в начальной школе содержат задачи, в текстах которых есть двусмысленности. Нужно показывать их детям, предлагать их найти, а в сложных случаях учитель сам должен установить все неточности, чтобы дать ученику возможность сосредоточиться на чисто математических проблемах.

Одно и то же слово в различных предложениях может иметь разные значения — кванторные и некванторные. Так в вопросе: «Сколько кормушек для птиц сделали все ученики класса?» — слово «все» не квантор, а инструкция сложить количество кормушек, сделанных каждым учеником в отдельности. Если рассмотреть вопрос «Все ли числа нечетны?» слово «все» выступает в качестве квантора общности. Опознание функций слова «все» в задаче может явиться ключом к ее решению.

На первом этапе общего анализа текста задачи ученики читают и разбирают условие задачи (лингвистический анализ); в результате составляют план решения, буквенное или числовое выражение для решения задачи, уравнение (составление математической модели). На втором этапе осуществляют полученный план, находят значение числового выражения, решают уравнение и т.д. Однако на первом этапе ученики могут столкнуться с необходимостью отбросить ненужную информацию, найти скрытые кванторы, выделить имеющиеся логические союзы, восполнить недостающие логические союзы, слова и т.д. Вся данная работа проводится учащимся во время лингвистического анализа текста задачи.

Приведем примеры: «Один скворец съедает в день около 120 насекомых. Сколько насекомых уничтожит за лето стая скворцов из 40 птиц?» и «Зимой одной корове в день дают 6 кг свеклы. Сколько килограммов свеклы потребуется трем коровам на 5 дней?»

В этих задачах слово «один» не только обозначает число, но и является квантором «каждый». Арифметическими словами являются здесь имена чисел; действия с ними не вызывают у учащихся затруднений.

Дана задача: «Закройщик за 22 рабочих дня в месяц должен раскроить 88 костюмов. Он увеличил ежедневный выпуск на 1 костюм. На сколько дней раньше срока закройщик выполнил месячный план раскроя?» Наиболее существенные моменты лингвистического разбора таковы:

1) Слово «ежедневный» прячет в себе кванторный смысл «каждый»: «ежедневный выпуск», означает «количество костюмов, раскраиваемое каждый день».

2) Месячный план — это «количество костюмов, которое закройщику необходимо выпустить за месяц» (по условию это число равно 88). Месяц составляет 22 рабочих дня, или срок. Выражение «увеличил на» соответствует сложению, причем второе слагаемое (1) дано в условии, а первое еще надо найти. На сколько дней раньше срока можно узнать с помощью вычитания из 22 (поскольку срок равен 22 рабочим дням).

3) В сочетании «на сколько дней раньше срока» слово «дней» означает «рабочих дней». Учащиеся должны добавить пропущенное прилагательное «рабочих» в условие задачи.

Необходимо отметить, что восстановление пропущенных элементов, а также другие операции над исходным текстом задачи не означают какого-либо исправления текста, замены смысла задачи на другой и т.д. Основная цель этой деятельности – облегчить учащемуся восприятие понятийного содержания задачи, а также последующий переход к математической модели.