Для текстовой арифметической задачи различные авторы предлагают следующие определения.

1. Арифметической задачей называют требование найти числовое значение некоторой величины, если даны числовые значения других величин и существует зависимость, которая связывает эти величины, как между собой, так и с искомой (Богданович М.В.).

2. В окружающей нас жизни возникает множество таких ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними, – это задачи (Бантова М.А.).

3. Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий (Моро М.И., Пышкало А.М.).

4. Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого отношения (Стойлова Л.П., Пышкало А.М.).

5. Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в ней (Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.).

6. В начальном курсе математики понятие «задача» обычно используется тогда, когда речь идет об арифметических задачах. Они формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами (Истомина Н.Б.)

7. Под текстовыми арифметическими задачами подразумевают задачи, имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий (Дрозд В.Л.)

Таким образом, четкого определения текстовой арифметической задачи нет, вводится лишь её понятие, причем, по мнению Метельского Н.В. , это понятие является первичным (неопределяемым). Он отмечает, что «задача – понятие неопределяемое и в самом широком смысле слова означает то, что требует исполнения, решения. Иногда под задачей понимают упражнение, которое выполняется, решается посредством умозаключения, вычисления и т.п. Последнее толкование термина «задача» ближе к понятию «задача в обучении», которую можно назвать дидактической задачей. Математическая задача в обучении … является также неопределяемым понятием, подчиненным понятию «дидактическая задача»» [19, c.176].

В начальной школе часто текстовые задачи называют сюжетными (Богданович М.В.).

Л.Н. Скаткин подразделяет текстовые арифметические задачи на конкретные и отвлеченные. Например:

1. Утром в библиотеку учащиеся сдали 10 книг, а вечером – на 14 книг больше. Сколько книг учащиеся сдали в библиотеку за весь день? (Конкретная задача).

2. Найдите число, которое больше чем 12 на 5. (Отвлеченная задача).

Упражнения

1. Выберите из предложенных заданий текстовые задачи. Обоснуйте свой выбор.

§ Два конца, два кольца. Посредине – гвоздик. Что это?

§ Решить уравнение: х – 5 = –50.

§ Мама пошла в магазин и купила 1 кг картофеля, 2 кг моркови, 1 кг репчатого лука. Потом она отнесла все овощи домой.

§ За 5 литров молока уплатили 5 грн. 50 коп. Сколько стоят 8 л молока?

§ Сколько ткани потребуется, чтобы сшить 3 одинаковых детских платья, если на каждое расходуют 1,5 м ткани?

§ Рассмотри чертеж. Сколько на нем квадратов? Напиши. Сколько других фигур? Напиши. Сколько всего фигур? Сделай такой чертеж.

2. Приведите свои примеры текстовых задач.

3. Какие из перечисленных задач являются конкретными, а какие отвлеченными? Почему?

§ На сколько единиц нужно увеличить число 2, чтобы получить 6?

§ Миша принес с огорода 7 морковок, а потом еще 4 морковки. Сколько всего морковок принес Миша?

§ По данному чертежу измерь стороны прямоугольника. Найди сумму длин его сторон.

4. Приведите свои примеры конкретных и отвлеченных текстовых задач.

Структура текстовой задачи

Любая задача состоит из предметной области, отношений, которые связывают объекты этой области, требования задачи и оператора (решения).

Под предметной областью понимают множество рассмотренных в задаче объектов, которые вместе со связывающими их отношениями образуют условие задачи.

Требование задачи – то, что необходимо найти в результате ее решения.

Под оператором задачи понимают совокупность действий, которые необходимо выполнить в соответствии с условием задачи над ее данными [3, c.7].

Например: «На уроке труда использовали 25 листов бархатной бумаги и 4 листа гофрированной бумаги. Сколько всего листов бумаги использовали на уроке?»

Предметная область данной задачи состоит из листов бархатной бумаги, листов гофрированной бумаги, из общего количества листов бумаги. Элементы этой предметной области связаны в данной задаче отношением суммы количества листов каждого вида. Известны следующие числовые характеристики предметной области: количество листов бархатной бумаги и количество листов гофрированной бумаги. Неизвестным выступает общее количество листов.

С множествами, составляющими предметную область, их числовыми характеристиками можно проводить следующую работу:

§ Перечисли все, что известно в задаче. (Известно, что израсходовали 25 листов бархатной бумаги и 4 листа гофрированной бумаги).

§ Перечисли все, что в задаче неизвестно. (Неизвестно, сколько всего листов бумаги израсходовали).

В начальной школе в текстовой задаче выделяют условие и требование (вопрос).

Без вопроса задачи нет. В результате решения задачи должно быть найдено искомое число (числа), либо показано, что такого числа не может быть (задачи с некорректными данными), либо установлены связи или отношения между числами. Этот результат получается при использовании числовых данных из условия, либо, если условие задачи не содержит явных числовых данных, из анализа условия.

Таким образом, в задаче должны быть данные и указаны зависимости между ними, причем эти зависимости могут быть указаны как прямо, так и косвенно.

Итак, в условии задач содержатся сведения о величинах известных и неизвестных, указываются связи и отношения между ними. В требовании содержится указание того, что нужно найти.

Требование может быть сформулировано в виде вопросительного или повелительного предложения, а так же может содержаться в условии задачи, при этом усложняется анализ содержания задачи, требуется переформулировка текста задачи. Одна и та же задача может быть сформулирована по-разному, например:

1. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 76 км. Они встретились через 2 часа, причем, скорость одного из них больше скорости другого на 3 км/ч. Какова скорость каждого из велосипедистов?

2. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 76 км. Они встретились через 2 часа, причем, скорость одного из них меньше скорости другого на 3 км/ч. Найдите скорость каждого из велосипедистов.

3. Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 76 км. Через 2 часа они встретились. Какова скорость каждого из них, если известно, что скорость одного на 3 км/ч меньше скорости другого?

Все три задачи являются различными формулировками одной. В первом случае условие и требование разделены, и требование сформулировано в вопросительной форме. Во втором случае требование сформулировано в повелительной форме. В третьем случае в требовании содержится часть условия. Кроме того, в первой задаче указано, что скорость одного больше скорости другого на 3 км/ч, а во второй и третьей – что скорость одного меньше скорости другого на 3 км/ч. Действительно, если один из них движется быстрее на 3 км/ч, то другой – медленнее на столько же км/ч.

Иногда «условием задачи» называют весь текст задачи, включая непосредственно условие и требование. Однако, с точки зрения методики, это не корректно. Учащихся необходимо учить читать текст (формулировку) задачи, выделять условие задачи и требование задачи в этом тексте.

Обратите внимание на то, что часто формулировки задач не содержат нужной информации, без которой нельзя говорить о функциональной зависимости или связях между величинами. Например, рассмотрим задачу: «За 6 чашек заплатили 19 грн. 20 коп. Сколько стоит одна чашка?» Для решения этой задачи необходимо все-таки выяснить одинаковые ли чашки, либо одинаковая ли у них цена. Иначе задача просто не имеет однозначного решения. Корректнее было бы сформулировать эту задачу так: «За 6 одинаковых чашек заплатили 19 грн. 20 коп. Сколько стоит одна чашка?» или «Купили 6 чашек по одинаковой цене. За всю покупку уплатили 19 грн. 20 коп. Сколько уплатили за каждую чашку?»

Упражнения

1. Выделите в данной задаче предметную область, отношение, требование задачи и оператор: «В парке посадили 130 берез и 150 лип. Сколько всего деревьев посадили?»

2. Выделите в данных задачах условие, требование, переформулируйте задачу различными способами: а) «Пешеход прошел за 6 ч 24 км. Сколько километров проедет машина за такое же время, если она поедет в 15 раз быстрее?»; б) «На 16 грузовиках перевезли 4000 ящиков с помидорами. Сколько таких ящиков перевезут на 48 таких же грузовиках?»; в) «Два шофера получили задание: за сутки перевезти с поля 43600 кг картофеля. Одна машина совершила 9 поездок, а другая – 7. Первая машина за один раз перевозила 1500 кг, а вторая – вдвое больше. Выполнили ли шоферы задание?» (СНОСКА: Задачи взяты из учебника [A3]) Подумайте, на какие неточности в формулировках задач нужно обратить внимание учащихся, чтобы задачи имели корректное решение.

3. Определите вид функциональной зависимости, которую можно пронаблюдать в каждой из задач. Предложите упражнение для такого наблюдения. а) «В 5 одинаковых клетках помещается 20 кроликов. Сколько нужно таких клеток, чтобы поместить в них 36 кроликов?»; б) «За 3 м бархата уплатили столько же, сколько за 14 м полотна. Цена бархата 28 грн. за метр. По какой цене покупали полотно?»

4. Даны две задачи: «Газета стоит 30 к., она дешевле журнала в 10 раз. Сколько стоит журнал?» и «Книга стоит 9 грн., а журнал в 3 раза дешевле. Сколько стоит журнал?» Выделите соответствия, присутствующие в задачах, сформулируйте обратные соответствия. Укажите задачу, в которой обратное соответствие используется для анализа задачи. Составьте подготовительное логическое упражнение или игру к этим задачам.