При использовании детерминированных зависимостей в мате­матических моделях, полученных по усредненным данным, из-за случайных отклонений возможен элемент неопределенности, вли­яющий на величину целевой функции. Поэтому очень важно про­верить модель на чувствительность к такого рода случайным от­клонениям. Большинство констант, показатели степени эмпири­ческих зависимостей, характеризующие материал обрабатываемой заготовки, применяемый инструмент, метод обработки всегда имеют случайные отклонения от значений, принятых в математи­ческих моделях. Задача состоит в том, чтобы сравнить вектор рас­считанных параметров режима обработки и экстремум целевой фун­кции, полученные по усредненным зависимостям, с их фактически­ми значениями, которые являются случайными. Лучшие режимы резания для конкретных условий обработки могут существенно отличаться от режимов, определенных по усредненным данным.

Возможную точность решения можно оценить величиной от­клонений Ду и А^

^& '=\?- Г\],                                (4.19)

А, =|х - X \,

где /*, х* — соответственно экстремум целевой функции и вектор оптимальных параметров режима резания, найденные по усред­ненным данным; /*, х' — действительные случайные величины. Ограничения, используемые в модели, могут иметь вид

g ,{ t , s , v )< b_lt

где bj — величины постоянных в правой части ограничений; / — глубина резания; s — подача; v — скорость резания.

156

Величины Ь, могут колебаться в пределах b_imin - й_1тах, что опре­деляется видом ограничения, технологическими характеристика­ми используемого оборудования, материалом заготовки, требова­ниями к точности и качеству поверхностного слоя обрабатывае­мых деталей и т.д. Используя подход имитационного оборудова­ния, находят отклонения от оптимальных параметров процесса и целевой функции, полученных по усредненным данным, значе­ний этих же параметров и величины целевой функции, найденных при условии, что постоянные b_t в ограничениях модели принима­ют свои крайние значения, каждое из которых имеет два уровня

Определив с помощью математической модели оптимальные параметры обработки и величину целевой функции для каждого случая предельных отклонений колебаний постоянных b_h оцени­вают степень расхождения полученных характеристик с соответ­ствующими значениями усредненного варианта. Определяют веро­ятность /'того, что А/И А_х (см. уравнение (4.19)) находятся в преде­лах заданной точности 5/и б_х, т.е.

Р Р

| х--х1<8_х}.

Для нахождения оптимальных режимов резания и экстремума целевой функции с заданными точностью и надежностью необхо­димо обеспечить выполнение следующих условий:

*-x1<5J>l-o,

где найденные режимы обработки и значение целевой функции будут находиться в заданных пределах с достоверностью (1 - а) (при оценке задаются вероятностью ошибки а = 0,05). Для сокра­щения числа вариантов возможно в первую очередь учитывать ак­тивные ограничения в усредненном варианте и рассматривать ва­риацию правой части ограничений Ь, только для их активной части.

4.G. Постановка задачи параметрического синтеза

Синтез подразделяют на параметрический и структурный. Про­ектирование начинают со структурного синтеза, при кото-

157

ром принимается принципиальное решение. Таким может быть, например, облик металлорежущего станка.

Примерами параметрического синтеза может служить определение геометрических размеров деталей, режимов резания и т. п. Задача параметрического синтеза может быть сформулирова­на как задача определения наилучших параметров при неизмен­ной структуре проектируемого объекта. Такой параметрический синтез называют параметрической оптимизацией или просто оп­тимизацией.

В САПР процедуры параметрического синтеза выполняются тех­нологом в интерактивном режиме либо на базе формальных мето­дов оптимизации. Наиболее распространенной является детерми­нированная постановка, когда заданы условия работоспособности на выходные параметры У и нужно найти номинальное значение проектных параметров X .

Базовая задача оптимизации ставится как задача математичес­кого программирования

Extr/X*), X е D_x , D_X ~[ X \ <p(Jf) > 0, у ( Х ) = 0},

где F ( X ) — целевая функция; X — вектор управляемых (проект­ных) параметров; <р(Х) и ц(Х) — функции ограничений; D_x — допустимая область в пространстве управляемых параметров X .

4.7. Постановка задачи структурного синтеза

Задачу структурного синтеза проектирования технологических процессов относят к наиболее трудноформализуемым. Поэтому структурный синтез, как правило, выполняют в интерактивном режиме при активной роли технолога-разработчика, а ЭВМ игра­ет вспомогательную роль.

При структурном синтезе результирующее описание может со­держать сведения о составе элементов структуры (наименование технологических операций), их числе и отношении порядка (пос­ледовательность технологических операций).

В процессе структурного синтеза выполняют задачу принятия решений (ЗПР), которую формулируют следующим образом:

ЗПР = < А, К, М, П >,

где А — множество альтернатив проектного решения; К = (к_ь /с₂> ..., к„) — множество критериев (выходных параметров), по кото­рым оценивается соответствие альтернативных решений постав­ленным целям; М: А -> К — модель, позволяющая для каждой альтернативы рассчитать вектор критериев; П — решающее пра­вило для выбора наиболее подходящей альтернативы в многокри­териальной ситуации.

158

Для упорядочения и описа­
ния альтернатив используют ряд
подходов, в частности, морфо­
логические таблицы и альтерна­
тивные И-ИЛИ-графы в виде
деревьев (связных графов, не со­
держащих циклов, т. е. замкнутых р_ис. 4.14. И-ИЛИ-дсрево, соответ-
цепей).                                        ствующес морфологической таблице

Элемент морфологической таблицы М₀ означает у'-реализацию /-й функции, описываемой матрицей М (в классе технических объектов).

Морфологическую таблицу представляют в виде отношения М

М = <Х, R >,

где X — множество свойств (характеристик или функций), прису­щих рассматриваемому объекту; R - < R_U R ₂ , ..., R_it ..., R_n > — множество значений (способов реализации) /-го свойства.

Далее морфологическую таблицу М можно представить в виде дерева (рис. 4.14). Часто применяются структуры деревьев, в кото­рых используются логические функции И и ИЛИ (на рис. 4.14 тем­ные точки — функции, а светлые — значения функций). Очевид­но, морфологическая таблица содержит множество однотипных объектов, которые характеризуются одной или множеством функ­ций. Ч-дерево удобно применять для описания структуры коп к ретного объекта. Оно представляет собой множество вершин и свя­зывающих их ребер. Вершины разделены на ярусы. Каждый ярус состоит из параметрических уравнений, а вершины отображают части проектируемого объекта. Например, рассмотрим фрагмент И-дерева на рис. 4.15. Корневая вершина Мнулевого яруса отобра­жает сложную систему проектируемого объекта (например, токар­ного станка мод. 16К20). Эта вершина соединяется ребрами с вер­шинами первого яруса, отображающими подсистемы (коробку ско­ростей, суппорт, фартук и т.д.) Вершины л-го яруса отображают базовые элементы (например, шпиндель, задний центр и т.д.).

При многообразии объектов используют многоярусные И-ИЛИ-
деревья. Двухъярусное дерево для разных типов объектов, в кото­
ром предусматриваются разные подмножества функций, приведе­
но на рис. 4.16. Например, такое
И-ИЛИ-дерево можно постро-                    д/

ить для разных станков токарной           ^"t^               °"^{й я}Р^ус

группы. Его можно представить      ^/^\^^

как совокупность морфологичес-  %£• fks V jlk 1-й ярус

ких таблиц: каждая И-вершина.........................................

дерева соответствует частной
морфологической таблице, а
каждая ИЛИ-вершина инциден-    Рис. 4.15. Фрагмент И-дсрсва

159

ИЛИ   щ •••■• Значения функций Рис. 4.16. Многоярусное И-ИЛИ-дерево

тна 1-й ветви и соответствует множеству вариантов реализаций i - Pi функции. При этом /-я ветвь, исходящая из ИЛИ-вершины, ото­бражает у-й вариант реализации.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит математическое моделирование?

2. Какие требования предъявляются к ММ?

3. По каким признакам классифицируются ММ?

4. В чем суть структурных ММ?

5. Чем характеризуются табличные, сетевые и перестановочные ММ?

6. Для каких целей предназначаются функциональные ММ?

7. Назовите основные характеристики ММ на разных иерархических уровнях.

8. В чем заключаются особенности аналитических, алгоритмических и имитационных моделей?

9. В чем суть методики получения ММ?

10. Для чего необходимы преобразования ММ в процессе получения рабочих программ анализа?

11. Каковы особенности ММ на микроуровне?

12. Назовите особенности ММ на макроуровне?

13. Каковы особенности ММ на метауровне?

14. В чем заключается использование ММ на микроуровне?

15. В чем заключается использование ММ на макроуровне?

16. Какие ММ на метауровне можно описать путем использования це­лочисленного программирования?

17. В чем заключаются марковские случайные процессы?

18. Какие особенности возникают при использовании сетей Петри?

19. Какие задачи включает в себя постановка структурного синтеза?

Глава 5